সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: উদ্দীপক-১:…’ ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

(প্রশ্নে ভুল আছে) লম্বকেন্দ্র পরিবর্তে পরিকেন্দ্র হবে।

ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O হতে OA ,OB, OC বরাবর $P_1,P_2,P_3$ বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা তৈরি করেছে সাম্যাবস্থায় লামির সূত্র হতে পাই,

$\frac{p_1}{\sin \angle BOC}=\frac{p_2}{\sin \angle AOC}=\frac{p_3}{\sin \angle AOB}$

বা, $\frac{p_1}{\sin 2\angle BAC}=\frac{p_2}{\sin 2\angle ABC}=\frac{p_3}{\sin 2\angle ACB}$ [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোন এর দিগুণ]

বা, $\frac{p_1}{\sin 2A}=\frac{p_2}{\sin 2B}=\frac{p_3}{\sin 2C}$

বা, $\frac{p_1}{2\sin A\cos A}=\frac{p_2}{2\sin B\cos B}=\frac{p_3}{2\sin C\cos C}$

বা, $\frac{p_1}{\frac{a}{2R}\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}=\frac{p_2}{\frac{b}{2R}\cdot \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}=\frac{p_3}{\frac{c}{2R}\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$

এবংসুত্রহতে$[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\text{ এবং }\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\text{ সুত্র হতে }]$

বা, $\frac{p_1}{\frac{a^2(b^2+c^2-a^2)}{abc}}=\frac{p_2}{\frac{b^2(c^2+a^2-b^2)}{abc}}=\frac{p_3}{\frac{c^2(a^2+b^2-c^2)}{abc}}$

$\therefore \frac{p_1}{a^2(b^2+c^2-a^2)}=\frac{p_2}{b^2(c^2+a^2-b^2)}=\frac{p_3}{c^2(a^2+b^2-c^2)}$ (প্রমাণিত)

$ABC$ ত্রিভূজের শীর্ষবিন্দুতে বলত্রয় $P_1,P_2,P_3$ ক্রিয়াশীল এবং লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র (I) গামী

ধরি, B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P_1$ ও $P_2$ বলত্রয়ের লব্ধি D বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

$\begin{array}{cc}& \therefore P_2\cdot BD=P_3\cdot CD\\ & \Rightarrow \frac{P_2}{P_3}=\frac{CD}{BD}\\ & =\frac{AC}{AB}[\because \frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}]\\ & =\frac{b}{C}\\ & \therefore p_2:p_3=b:c\end{array}$

অনুরূপভাবে, $p_1:p_2=a:b$

$\therefore p_1:p_2:p_3=a:b:c($ দেখানো হলো) ৬। উদ্দীপক-১: $3x^2-4y-6x-5=0$