সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : x=(a+bω+cω2),y=(a+bω2+cω)উদ্দীপক-২…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $x=a+b\omega +c{\omega }^2,y=a+b{\omega }^2+c\omega$

$\therefore x^3+y^3=0$

$\Rightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=0$

$\Rightarrow (x+y)\{x^2+(-1)xy+y^2.1)=0$

$\Rightarrow (x+y)\{x^2+(\omega +{\omega }^2)xy+y^2{\omega }^3\}=0$

$\Rightarrow (x+y)(x^2+\omega xy+{\omega }^{2}xy+y^2{\omega }^3)=0$

$\Rightarrow (x+y)\left\{x\right(x+y\omega )+{\omega }^{2}y(x+y\omega \left)\right\}=0$

$\Rightarrow (x+y)(x+y\omega )(x+{\omega }^{2}y)=0$

$\therefore x+{\omega }^{2}y=0$

$\Rightarrow a+b\omega +c{\omega }^2+{\omega }^2(a+b{\omega }^2+c\omega )=0$

$\Rightarrow a+b\omega +c{\omega }^2+a{\omega }^2+b{\omega }^4+c{\omega }^3=0$

$\Rightarrow a+b\omega +c{\omega }^2+a{\omega }^2+b\omega +c=0$

$\Rightarrow a(1+{\omega }^2)+2b\omega +c({\omega }^2+1)=0$

$\Rightarrow -a\omega +2b\omega -C\omega =0$

$\Rightarrow -\omega (a-2b+c)=0$

$\Rightarrow a+c-2b=0$

$\Rightarrow 2b=c+a$

$\therefore b=\frac{1}{2}(c+a)$ (দেখানো হলো)

উদ্দীপক-২ হতে পাই,

$7+i8=(p+iq{)}^3$

$=p^3+3p^2\cdot iq+3p\cdot i^2{q}^2+i^3{q}^3$

$=p^3+3p^{2}qi-3p{q}^2-i{q}^3$

$\therefore 7+i8=(p^3-3p{q}^2)+i(3p^{2}q-q^3)$

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,

$p^3-3{\mathrm{pq}}^2=7$

$\Rightarrow p(p^2-3q^2)=7$

$\Rightarrow p^2-3q^2=\frac{7}{p}$

$\Rightarrow \frac{P^2-3q^2}{4}=\frac{7}{4p}\cdots \left(1\right)$

এবং $3p^{2}q-q^3=8$

$\Rightarrow q(3p^2-q^2)=8$

$\Rightarrow 3p^2-q^2=\frac{8}{q}$

$\Rightarrow \frac{3p^2-q^2}{4}=\frac{2}{q}\dots \left(ii\right)$

এখন,

(i) + (ii)

$\frac{p^2-3q^2}{4}+\frac{3p^2-q^2}{4}=\frac{7}{4p}+\frac{2}{q}$

$\Rightarrow \frac{p^2-3q^2+3p^2-q^2}{4}=\frac{7}{4p}+\frac{2}{q}$

$\Rightarrow \frac{4p^2-4q^2}{4}=\frac{7}{4p}+\frac{2}{q}$

$\therefore p^2-q^2=\frac{7}{4p}+\frac{2}{q}$ (প্রমাণিত)