সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : x…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, গোলকের ওজন W = 8kg 

মনেকরি, C কেন্দ্রবিশিষ্ট গোলকটি AB দেয়ালের B বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং সুতাটি A ও D বিন্দুতে আটকানো আছে।

B বিন্দুতে দেয়ালের উল্লম্ব প্রতিক্রিয়া R যা BC বরাবর এবং গোলকের ওজন $W$ যা CE বরাবর এবং সুতার টান $T$ যা DA বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যবস্থায় সৃষ্টি করে।

$\therefore$ লামির সূত্র হতে পাই,

$\frac{T}{\sin {90}^{\circ }}=\frac{W}{\sin (\pi -\angle ACB)}=\frac{R}{\sin ACE}$

$\Rightarrow T=\frac{8}{\sin \angle ACB}=\frac{8}{\frac{AB}{CA}}=\frac{8\times CA}{AB}=\frac{8\times (AD+CD)}{\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}}$

$=\frac{8\times (x+x)}{\sqrt{(2x{)}^2-x^2}}=\frac{16x}{\sqrt{3}x}$

$\therefore T=\frac{16}{\sqrt{3}}\mathrm{Kg}$

মনেকরি $\mathrm{ABC}$ ত্রিভূজের $\mathrm{ABC}$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল $P,Q,R$ তিনটি সদৃশ সমান্তরাল বনের লব্ধি $(P+Q+R)$ যা ত্রিভূজটির অন্তকেন্দ্র I বিন্দুগামী।

বর্ধিত AI, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে, $\angle BAD=\angle CAD=\frac{A}{2}$

B ও C বিন্দুতে ক্রিয়াশীল $Q$ ও R দুটি সদৃশ্য সমান্তরাল বনের লব্ধি BC রেখাস্থ যেকোনো একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার P বলের ক্রিয়াবিন্দু A এবং বলত্রয়ের লব্ধি I বিন্দুগামী।

তাহলে, $(Q+R)$ বলটি $\mathrm{AD}$ রেখাস্থ কোনো একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করবে।

অর্থাং, $(Q+R)$ বলটি $\mathrm{AD}$ ও $\mathrm{BC}$ এর ছেদবিন্দু $D$ তে ক্রিয়াশীল।

$\therefore Q\cdot BD=R\cdot CD$

$\Rightarrow \frac{Q}{R}=\frac{CD}{BD}.......\left(i\right)$

$△ABD$ হতে পাই,

$\frac{BD}{\sin BAD}=\frac{AD}{\sin ABD}$

$\Rightarrow \frac{BD}{\sin \frac{A}{2}}=\frac{AD}{\sin B}........\left(ii\right)$

আবার, $△ACD$ হতে পাই,

$\frac{CD}{\sin CAD}=\frac{AD}{\sin ACD}$

$\Rightarrow \frac{CD}{\sin \frac{A}{2}}=\frac{AD}{\sin C}........\left(iii\right)$

(iii) $÷$ (ii)

$\frac{CD}{\sin \frac{A}{2}}\times \frac{\sin \frac{A}{2}}{BD}=\frac{AD}{\sin C}\times \frac{\sin B}{AD}$

$\Rightarrow \frac{CD}{BD}=\frac{\sin B}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{Q}{R}=\frac{\sin B}{\sin C}$

$\therefore \frac{Q}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}\dots \left(iv\right)$

অনুরূপভাবে,

$\frac{P}{\sin A}=\frac{Q}{\sin B}\dots \dots \left(v\right)$

(iv) ও (v) হতে পাই,

$\frac{P}{\sin A}=\frac{Q}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}$

$\therefore P:Q:R=\sin A:\sin B:\sin C........\left(vi\right)$

$△\mathrm{ABC}$ হতে পাই,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{1}{k}$ (ধরি)

$\Rightarrow \sin A=ak,\sin B=bk,\sin C=ck$

(vi) হতে পই,

$P:Q:R=aK:bK:cK$

$\therefore P:Q:R=a:b:c$ (প্রমাণিত)