সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: x2−2x+b=0 এবং…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ এ

$x^2-2x+b=0$ ........... (i)

$x^2-bx+2=0$ ........... (ii)

ধরি, সমীকরণ (1) এর মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$ এবং সমীকরণ (2) এর মূলদ্বয় $\gamma ,\delta$ ।

শর্তানুসারে, $\alpha -\beta =\gamma -\delta =$ ধ্রুবক

$\therefore \alpha -\beta =\gamma -\delta$

বা, $(\alpha -\beta {)}^2=(\gamma -\delta {)}^2$ [বর্গ করে]

বা, $(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =(\gamma +\delta {)}^2-4\gamma \delta$ ...... (3)

$[\because (a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab]$

সমীকরণ (1) হতে, $\alpha +\beta =-\frac{-2}{1}=2,\alpha \beta =\frac{b}{1}=b$ সমীকরণ (2) হতে, $\gamma +\delta =-\frac{-b}{1}=b,\gamma \delta =\frac{2}{1}=2$

সুতরাং (3) হতে পাই,

$(2{)}^2-4\cdot b=(b{)}^2-4\cdot 2$

বা, $4-4b=b^2-8$

বা, $b^2+4b-8-4=0$

$\therefore b^2+4b-12=0$. (প্রমাণিত)

এখানে, $x^4-7x^3+18x^2-22x+12=0$......... (1)

যেহেতু (1) নং সমীকরণের একটি মূল $1+i$, তাই আরেকটি মূল হবে 1 -i.

সুতরাং $(1+i)$ এবং $(1-i)$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ হবে

$x^2-(1+i+1-i)x+(1+i)(1-i)=0$

বা, $x^2-2x+1^2-i^2=0$.

বা, $x^2-2x+1+1=0$

বা, $x^2-2x+2=0$........... (2)

সুতরাং, $x^2-2x+2$ রাশিটি সমীকরণ (1) এর একটি উৎপাদক হবে।

$\therefore x^4-7x^3+18x^2-22x+12=0$

বা, $x^4-2x^3+2x^2-5x^3+10x^2-10x+6x^2-12x+12=0$

বা, $x^2(x^2-2x+2)-5x(x^2-2x+2)+6(x^2-2x+2)=0$

বা, $(x^2-5x+6)(x^2-2x+2)=0$

এখন, $x^2-5x+6=0$

বা, $x^2-3x-2x+6=0$

বা, $x(x-3)-2(x-3)=0$

বা, $(x-3)(x-2)=0$ হয়, $x-3=0$ অথবা, $x-2=0$

$\therefore x=3\therefore x=2$

সুতরাং, (1) নং সমীকরণটির মূলগুলি হবে $1+i,1$ - i, 2,3.