সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: x2−bx−c=0 সমীকরণের…’ বরিশাল বোর্ড ২০২২ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান।

ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও ${\alpha }^2$

$\therefore \alpha +{\alpha }^2=\frac{b}{1}$ & এবং $\alpha \cdot {\alpha }^2=\frac{-c}{1}$

বা, $\alpha +{\alpha }^2=b$ & বা, ${\alpha }^3=-c$

এখन, ${(\alpha +{\alpha }^2)}^3=b^3$

বা, ${\alpha }^3+{\left({\alpha }^2\right)}^3+3\cdot \alpha \cdot {\alpha }^2(\alpha +{\alpha }^2)=b^3$.

বা, ${\alpha }^3+{\left({\alpha }^3\right)}^2+3{\alpha }^3(\alpha +{\alpha }^2)=b^3$

বা, $-c+(-c{)}^2+3(-c)\cdot b=b^3$

বা, $-c+c^2-3bc=b^3$

বা, $b^3+3bc+c-c^2=0$

$\therefore b^3+c(3b+1)-c^2=0$. (দেখানো হলো)

উদ্দীপক-২ হতে পাই,

$a{x}^2+2bx+c=0$ ........... (i)

$c{x}^2+2bx+a=0$ ........ (ii)

ধরি, (ii) নং এর একটি মূল $\alpha$

$\therefore$ (i) নং এর একটি মূল $3\alpha$

অথাৎ, $a\cdot (3\alpha {)}^2+2b(3\alpha )+c=0$

বা, $9a{\alpha }^2+6b\alpha +c=0$ ........... (iii)

এবং $c{\alpha }^2+2b\alpha +a=0$ ........... (iv)

সমীকরণ (iii) ও (iv) হতে বজ্রগুনের নিয়মে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{6ab-2bc}=\frac{\alpha }{c^2-9a^2}=\frac{1}{18ab-6bc}$

$\therefore \frac{{\alpha }^2}{6ab-2bc}=\frac{\alpha }{c^2-9a^2}$

বা, $\frac{\alpha }{6ab-2bc}=\frac{1}{c^2-9a^2}$

$\therefore \alpha =\frac{6ab-2bc}{c^2-9a^2}$.

আবার, $\frac{\alpha }{c^2-9a^2}=\frac{1}{18ab-6bc}$

বা, $\alpha =\frac{c^2-9a^2}{18ab-6bc}$

সুতরাং, $\frac{6ab-2bc}{c^2-9a^2}=\frac{c^2-9a^2}{18ab-6bc}$

বা, ${(c^2-9a^2)}^2=(6ab-2bc)(18ab-6bc)$

বা, $\left\{\right(c+3a\left)\right(c-3a){\}}^2=2b(3a-c)\cdot 6b(3a-c)$

বা, $(3a+c{)}^2(3a-c{)}^2=12b^2(3a-c{)}^2$

বা, $(3a-c{)}^2\left\{\right(3a+c{)}^2-12b^2\}=0$

হয়, $(3a-c{)}^2=0$

বা, $3a=c$

$\therefore c=3a$

অথবা, $(3a+c{)}^2-12b^2=0$

বা, $(3a+c{)}^2=12b^2$

$\therefore 12b^2=(c+3a{)}^2$

অথাৎ $c=3a$ অথবা $12b^2=(c+3a{)}^2$. (দেখানো হলো)