সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১: x3 –…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক-১ হতে,

$x^3-2x^2+1=0$

সমীকরণের মূলত্রয় a, b, c

$\therefore a+b+c=2$

$\therefore \mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}=0$

এবং $\mathrm{abc}=-1$

এখন,

$\sum {\alpha }^2\beta =a^{2}b+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}b+c^{2}a+a^{2}c$

$=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

$=ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c)-3abc$

$=(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

$=2\times 0-3(-1)$

$=3$

উদ্দীপক-২ হতে,

${\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+r=0$

ধরি, সমীকরণটির একটি মূল $\alpha$

$\therefore$ অপর মূল ${\alpha }^2$

$\therefore \alpha +{\alpha }^2=-\frac{q}{p}$

$\Rightarrow q=-p(\alpha +{\alpha }^2)$

এবং $\alpha +{\alpha }^2=\frac{r}{p}$

$\Rightarrow {\alpha }^3=\frac{r}{p}$

$\Rightarrow r=p{\alpha }^3$

$L.H.S=r(p-q{)}^3$

$=p{\alpha }^3{\{p+p(\alpha +{\alpha }^2)\}}^3$

$=p{\alpha }^3{p}^3{(1+\alpha +{\alpha }^2)}^3$

$=p^4{\alpha }^3{(1+\alpha +{\alpha }^2)}^3$

$RHS=p(r-q{)}^3$

$=p{\{p{\alpha }^3+p(\alpha +{\alpha }^2)\}}^3$

$=p{\left\{p({\alpha }^3+\alpha +{\alpha }^2)\right\}}^3$

$=p\cdot p^3{\left\{\alpha (1+\alpha +{\alpha }^2)\right\}}^3$

$=p^4{\alpha }^3{(1+\alpha +{\alpha }^2)}^3$

$\therefore \text{ LHS }=\text{ RHS.}$ (দেখানো হলো)

বিকল্প পদ্ধতি:

$\alpha +{\alpha }^2=-\frac{q}{p}$

এবং $\alpha +{\alpha }^2=\frac{r}{p}$

$\Rightarrow {\alpha }^3=\frac{r}{p}$

$\therefore \frac{(p-q{)}^3}{(r-q{)}^3}=\frac{{\left(\frac{p-q}{p}\right)}^3}{{\left(\frac{r-q}{p}\right)}^3}$

$=\frac{{(1-\frac{q}{p})}^3}{{(\frac{r}{p}-\frac{q}{p})}^3}$

$=\frac{(1-\alpha +\alpha 2{)}^3}{{({\alpha }^3+\alpha +{\alpha }^2)}^3}$

$=\frac{(1-\alpha +\alpha 2{)}^3}{{\alpha }^3{(1+\alpha +{\alpha }^2)}^3}$

$=\frac{1}{{\alpha }^3}$

$=\frac{1}{\frac{r}{p}}$

$=\frac{p}{r}$

$\therefore r(p-q{)}^3=p(r-q{)}^3\cdot ($ দেখানো হলো)