সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : z=1+ix,a2+b2=1;…’ সরকারি আজিজুল হক কলেজ ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z=1+\mathrm{ix}$

$\therefore \bar{z}=1-\mathrm{ix}$

প্রশ্নমতে, $\overline{z}=z(a-ib)$

বা, $\frac{\overline{Z}}{Z}=(a-ib)$

বা, $\frac{1-ix}{1+ix}=a-ib$

বা, $\frac{1+ix}{1-ix}=\frac{1}{a-ib}$ [বিপরীতকরণ করে]

বা, $\frac{1+ix-1+ix}{1+ix+1-ix}=\frac{1-a+ib}{1+a-ib}$ [বিয়োজন-যোজন করে]

বা, $\frac{2ix}{2}=\frac{(1-a+ib)(1+a+ib)}{(1+a-ib)(1+a+ib)}$বা, $ix=\frac{(1+ib-a)(1+ib+a)}{(1+a{)}^2-(ib{)}^2}$

$=\frac{(1+ib{)}^2-a^2}{1+2a+a^2-i^2{b}^2}=\frac{1+2ib+i^2{b}^2-a^2}{1+2a+a^2+b^2}[\because i^2=-1]$

$=\frac{1+2ib-(a^2+b^2)}{1+2a+a^2+b^2}=\frac{1+2ib-1}{1+2a+1}[\because a^2+b^2=1]$

বা, $ix=\frac{2ib}{2(1+a)}=\frac{ib}{1+a}$

$\therefore x=\frac{b}{1+a}$, যা $x$ এর বাস্তব মান।

অতএব, $\overline{z}=z(a-ib)$ ) সমীকরণের একটি বাস্তব মূল বিদ্যমান।

(দেখানো হলো)

উদ্দীপক-২ এর সমীকরণ, $x^2+x+1=0$

$\therefore x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$

$=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}[\because i=\sqrt{-1}]$

$=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$

$=\omega ,{\omega }^2$ (ধরি)

$\therefore$ সমীকরণটির জটিল মূলদ্বয়, $\alpha =\omega$ এবং $\beta ={\omega }^2$

এখন, ${\alpha }^n+{\beta }^n={\omega }^n+{\left({\omega }^2\right)}^n={\omega }^n+{\omega }^{2n}$

এখানে, $n=3m$ হলে, ${\alpha }^n+{\beta }^n={\omega }^{3m}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m}={\left({\omega }^3\right)}^m+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}$

$=1+1[\because {\omega }^3=0]$

$=2$

$n=3m+1$ হলে, ${\alpha }^n+{\beta }^n={\omega }^{3m+1}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+1}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot \omega +{\left({\omega }^3\right)}^{2m}\cdot {\omega }^2$

$=\omega +{\omega }^2[\because {\omega }^3=1]$

$=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$n=3m+2$ হলে, ${\alpha }^n+{\beta }^n={\omega }^{3m+2}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+2}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot {\omega }^2+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}\cdot {\left({\omega }^2\right)}^2$

$=1\cdot {\omega }^2+1\cdot {\omega }^3\cdot \omega$

$={\omega }^2+\omega [\because {\omega }^3=1]$

$=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

অতএব, ${\alpha }^n+{\beta }^n=2$ অথবা -1 ; যখন $n$ এর মান যথাক্রমে 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা অবিভাজ্য। (প্রমাণিত)