সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক-১ : z=3+4iউদ্দীপক-২…’ সিলেট এমসি কলেজ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z=\sqrt{3+4i}$

বা, $z=\sqrt{4+4i+i^2}=\sqrt{2^2+2\cdot 2\cdot i+i^2}=\sqrt{(2+i{)}^2}=2+i$

$\therefore \overline{z}=2-i$

বামপক্ষ $=\left|\frac{1}{z}\right|+\left|\frac{1}{z}\right|=\left|\frac{1}{2+i}\right|+\left|\frac{1}{2-i}\right|$

$=\frac{1}{|2+i|}+\frac{1}{|2-i|}=\frac{1}{\sqrt{2^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}$

$=\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1+1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=$ ডানপক্ষ

$\therefore \left|\frac{1}{z}\right|+\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{2}{\sqrt{5}}.$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=x^2+2x-6k$

এবং $g\left(x\right)=x^2-\mathrm{kx}-3k$

$h\left(x\right)=0$ হলে, $x^2+2x-6k=0$ ....... (1)

$g\left(x\right)=0$ হলে, $x^2-kx-3k=0$ ....... (2)

ধরি, (1)নং ও (2) নং সমীকরণের সাধারণ মূল $\alpha$

$\therefore {\alpha }^2+2\alpha -6k=0$ ....... (3)

এবং ${\alpha }^2-k\alpha -3k=0$ ....... (4)

সমীকরণ (3) ও (4)নং কে বজ্রগুণন করে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{-6k-6k^2}=\frac{\alpha }{-6k+3k}=\frac{1}{-k-2}$

বা, $\frac{{\alpha }^2}{6k^2+6k}=\frac{\alpha }{3k}=\frac{1}{k+2}$

$\therefore \alpha =\frac{6k^2+6k}{3k}$, আবার $\alpha =\frac{3k}{k+2}$

$\therefore \frac{6k^2+6k}{3k}=\frac{3k}{k+2}$

বা, $6k^3+6k^2+12k^2+12k=9k^2$

বা, $6k^3+9k^2+12k=0$

বা, $2k^3+3k^2+4k=0$

বা, $k(2k^2+3k+4)=0$

হয়, $k=0$

$\therefore k=0$

অথবা, $2k^2+3k+4=0$

$\therefore k=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4.2.4}}{2\times 1}=\frac{-3\pm \sqrt{-23}}{4}$

ইহা অবাস্তব মান

নির্ণেয় মান: $k=0$.