সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক ১ঃউদ্দীপক ২ঃ…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, উদ্দীকের বৃত্তটির সমীকরণ :

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$

দেওয়া আছে, বৃত্তটি $y$ অক্ষেকে $(0,-4)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।

$\therefore f^2=c$

এবং $0+16+0-8f+c=0$

$\Rightarrow f^2-8f+16=0$

$\Rightarrow f^2-2\cdot 4\cdot f+4^2=0$

$\Rightarrow (f-4{)}^2=0$

$\therefore f=4$

$f$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$4^2=c$

$\therefore c=16$

আবার, বৃত্তটি দ্বারা $x$-অক্ষের কর্তিত অংশের পরিমাণ $=2\sqrt{g^2-c}$

$\therefore 2\sqrt{g^2-c}=6$

$\Rightarrow \sqrt{g^2-16}=3$

$\Rightarrow g^2-16=9$

$\Rightarrow g^2=25$

$\therefore g=\pm 5$

$g,f$ ও $c$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+10x+8y+16=0$

ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদ্দীপক-২ হতে,

$x^2+y^2+2x+3y+1=0$

কেন্দ্র, $C(-1,-\frac{3}{2})$

এবং ব্যাসার্ধ, $r=\sqrt{1+\frac{9}{4}}-1$

$=\frac{3}{12}$

ধরি স্পর্শকের ঢাল $=m$

$m$ ঢাল বিশিষ্ট এবং $(0,0)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

$(y-0)=m(x-0)$

$\Rightarrow y=mx$

$\Rightarrow mx-y=0$

কেন্দ্র $C(-1,-\frac{3}{2})$ হতে (i) নং রেখার লম্বদূরত্ব $=\left|\frac{-m+\frac{3}{2}}{\sqrt{m^2+1}}\right|$

তাহলে, $\left|\frac{-m+\frac{3}{2}}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow m^2-3m+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}(m^2+1)$

$\Rightarrow 4m^2-12m+9=9m^2+9$

$\Rightarrow 5m^2+12m=0$

$\Rightarrow m(5m+12)=0$

$\therefore m=0$ অথবা, $m=-\frac{12}{5}$

$m$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$y=0$

এবং $-\frac{12}{5}x-y=0$

$\Rightarrow 12x+5y=0$

ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।

$\therefore$ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{0+0+0+0+1}$

$=1$