সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক :…’ ২০২৬ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ............................(1)

বৃত্তটি y অক্ষকে স্পর্শ করে,

$\therefore f^2=c$ ............................(2)

বৃত্তটির $x$ অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য, $2\sqrt{g^2-c}=8$
বা, $\sqrt{g^2-c}=4$

$\therefore g^2-c=16$ ............................(3)

আবার, বৃত্তটি $(0,4)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 0^2+4^2+2\cdot g\cdot 0+2\cdot f\cdot 4+c=0$

বা, $16+8f+f^2=0$ [(2) নং থেকে]
বা, $(f+4{)}^2=0$
বা, $f+4=0$

$\therefore f=-4$

(2) নং হতে, $c=f^2=(-4{)}^2=16$

এবং (3) নং হতে, $g^2-16=16$

বা, $g^2=16+16$
বা, $g^2=32$
বা, $g=\pm \sqrt{32}$

$\therefore g=\pm 4\sqrt{2}$

যেহেতু বৃত্তটির কেন্দ্র প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

$\therefore g=-4\sqrt{2}$

$g,f$ ও c এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2-2\cdot 4\sqrt{2}x+2\cdot (-4)y+16=0$
$\therefore x^2+y^2-8\sqrt{2}x-8y+16=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x^2+y^2+8\sqrt{2}x-8y+16=0$.

মনে করি, মূলবিন্দু হতে স্পর্শকের সমীকরণ, সরলরেখাটি যেহেতু স্পর্শক সেহেতু কেন্দ্র হতে এর লম্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে। y = mx

বৃত্তটির কেন্দ্র $(4\sqrt{2},4)$ এবং ব্যাসার্ধ $=\sqrt{(-4\sqrt{2}{)}^2+(-4{)}^2-16}$

$=\sqrt{32+16-16}=4\sqrt{2}$

শর্তমতে, $\frac{|4\sqrt{2}m-4|}{\sqrt{m^2+1}}=4\sqrt{2}$
বা, $\left|\right(4\sqrt{2}m-4)|=4\sqrt{2}\sqrt{m^2+1}$
বা, $(4\sqrt{2}m-4{)}^2={\left(4\sqrt{2}\sqrt{m^2+1}\right)}^2$
বা, $32m^2-32\sqrt{2}m+16=32(m^2+1)$
বা, $32m^2-32\sqrt{2}m+16=32m^2+32$
বা, $32m^2-32m^2-32\sqrt{2}m=32-16$
বা, $-32\sqrt{2}m=16$

$\therefore m=\frac{16}{-32\sqrt{2}}=\frac{-1}{2\sqrt{2}}$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $y=\frac{-1}{2\sqrt{2}}x$.