সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক : 4x+3y−12=0.…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ, $4x+3y-12=0$ ......... (1)

রেখাটির ঢাল $=\frac{-4}{3}$

(1) নং রেখার সাথে লম্বরেখার ঢাল $=\frac{-1}{-\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

$(\frac{11}{2},5)$ বিন্দুগামী এবং $\frac{3}{4}$ ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,

$y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y-5=\frac{3}{4}(x-\frac{11}{2})$

বা, $y-5=\frac{3}{4}\cdot \frac{2x-11}{2}$

বা, $8y-40=6x-33$

বা, $6x-8y+7=0$

এখন, লম্বরেখা অর্থাৎ, (2) নং রেখার পাদবিন্দু হবে (1) নং ও (2) নং রেখার ছেদবিন্দু।

বা, $50x=75$

বা, $x=\frac{75}{50}$

$\therefore x=\frac{3}{2}$

(1) নং সমীকরণে $x=\frac{3}{2}$ বসিয়ে পাই,

$4\cdot \frac{3}{2}+3y-12=0$

বা, $6+3y=12$

বা, $3y=6$

বা, $y=2$

$\therefore$ পাদবিন্দু $(\frac{3}{2},2)$

ধরি, প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক (a, b)

$(\frac{11}{2},5)$ ও $(a,b)$ এর মধ্যবিন্দ $(\frac{\frac{11}{2}+a}{2},\frac{5+b}{2})=(\frac{11+2a}{4},\frac{5+b}{2})$

প্রশ্নমতে, $(\frac{11+2a}{4},\frac{5+b}{2})=(\frac{3}{2},2)$

$\therefore \frac{11+2a}{4}=\frac{3}{2}$

বা, $11+2a=6$

বা, $2a=6-11=-5$

$\therefore a=\frac{-5}{2}$

এবং $\frac{5+b}{2}=2$

বা, $5+b=4$

বা, $b=4-5$

$\therefore b=-1$

$\therefore$ প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক $(\frac{-5}{2},-1)$.

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ, $4x+3y-12=0$ ........ (1)

রেখাটির ঢাল, $m_1=\frac{-4}{3}$

ধরি, $(4,5)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

$y-5=m(x-4)$ ........ (2)

রেখাটির ঢাল $=m$

(1) ও (2) নং রেখার মধ্যবর্তী কোণ $\phi ={45}^{\circ }$ হলে,

$\tan \phi =\pm \frac{m-m_1}{1+m\cdot m_1}$

বা, $\tan {45}^{\circ }=\pm \frac{m-\frac{-4}{3}}{1+m\cdot \frac{-4}{3}}$

বা, $1=\pm \frac{3m+4}{3-4m}$

বা, $3-4m=\pm (3m+4)$

${}^{\prime }{+}^{\prime }$ চিহ্ন নিয়ে, $3-4m=3m+4$

বা, $-7m=1$

$\therefore m=\frac{-1}{7}$

${}^{\prime }{-}^{\prime }$ চিহ্ন নিয়ে, $3-4m=-3m-4$

$3-4m=-3m-4$

বা, $-m=-7$

$\therefore m=7$

$m$ এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$m=\frac{-1}{7}$ হলে, $y-5=\frac{-1}{7}(x-4)$

বা, $7y-35=-x+4$

$\therefore x+7y-39=0$

$m=7$ হলে, $y-5=7(x-4)$

বা, $y-5=7x-28$

$\therefore 7x-y-23=0$

নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ, $x+7y-39=0,7x-y-23=0$.