সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক : A=(pqr1323−1−5),B=(x1x2x3),C=(111).…’ ২০২৬ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}p& q& r\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right]$

এবং $f\left(x\right)=x^2-3x$

আবার, $p=3,q=-2,r=1$

$\therefore A=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right]$

এখন, $f\left(A\right)+5I=A^2-3A+5I$

$=A\cdot A-3A+5I$

$=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right]$

$-3\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right]+5\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}9-2+3& -6-6-1& 3-4-5\\ 3+3+6& -2+9-2& 1+6-10\\ 9-1-15& -6-3+5& 3-2+25\end{array}\right]$

$-\left[\begin{array}{ccc}9& -6& 3\\ 3& 9& 6\\ 9& -3& -15\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}10& -13& -6\\ 12& 5& -3\\ -7& -4& 26\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}9& -6& 3\\ 3& 9& 6\\ 9& -3& -15\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& -7& -9\\ 9& -4& -9\\ -16& -1& 41\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}6& -7& -9\\ 9& 1& -9\\ -16& -1& 46\end{array}\right]$

নির্ণেয় মান $f\left(A\right)+5=\left[\begin{array}{ccc}6& -7& -9\\ 9& 1& -9\\ -16& -1& 46\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}p& q& r\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right]$

আবার, $p=2,q=1,r=-1$

$\therefore A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right]$

$C^T={\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

প্রশ্মমতে, $AB=C^T$

বা, $\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

$\therefore \left[\begin{array}{c}2x_1+x_2-x_3\\ x_1+3x_2+2x_3\\ 3x_1-x_2-5x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

$\therefore 2x_1+x_2-x_3=1$

$x_1+3x_2+2x_3=1$

$3x_1-x_2-5x_3=1$

এখন, $x_1,x_2$ ও $x_3$ এর সহগসমূহ দিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right|$

$=2(-15+2)-1(-5-6)-1(-1-9)$

$=-26+11+10=-5$

$\therefore D_{x_1}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 3& 2\\ 1& -1& -5\end{array}\right|$

$=1(-15+2)-1(-5-2)-1(-1-3)$

$=-13+7+4=-2$

$D_{x_2}=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& 2\\ 3& 1& -5\end{array}\right|$

$=2(-5-2)-1(-5-6)-1(1-3)$

$=-14+11+2=-1$

$D_{x_3}=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 3& -1& 1\end{array}\right|$

$=2(3+1)-1(1-3)+1(-1-9)=8+2-10=0$

$\therefore D_1=\frac{D_{x_1}}{D}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5};x_2=\frac{D_{x_2}}{D}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5};x_3=\frac{D_{x_3}}{D}=\frac{0}{-5}=0$

নির্ণেয় সমাধান $(x_1,x_2,x_3)=(\frac{2}{5},\frac{1}{5},0)$.