সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক : ax2+bx+c=0…’ সরকারি আজিজুল হক কলেজ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $a{x}^2+bx+c=0$ সমীকরণের মূল দুইটি $\alpha$ এবং $\beta$ হলে মূল ও সহগের সম্পর্ক থেকে পাই,

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$

$\therefore \alpha +{\alpha }^2=-\frac{b}{a}\dots \dots .\left(i\right)[\because \beta ={\alpha }^2]$

এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$ বা, $\alpha \cdot {\alpha }^2=\frac{c}{a}$

$\therefore {\alpha }^3=\frac{c}{a}$

(i) নং সমীকরণের উভয় পাশে ঘন করে পাই,

${(\alpha +{\alpha }^2)}^3={(-\frac{b}{a})}^3$

বা, ${\alpha }^3+{\left({\alpha }^2\right)}^3+3\alpha \cdot {\alpha }^2(\alpha +{\alpha }^2)=-\frac{b^3}{a^3}$

বা, $\frac{c}{a}+{\left({\alpha }^3\right)}^2+3{\alpha }^3(-\frac{b}{a})=-\frac{b^3}{a^3}$

বা, $\frac{c}{a}+{\left(\frac{c}{a}\right)}^2+3\cdot \frac{c}{a}(-\frac{b}{a})=-\frac{b^3}{a^3}$

বা, $\frac{c}{a}+\frac{c^2}{a^2}-\frac{3bc}{a^2}=-\frac{b^3}{a^3}$

বা, $\frac{ac+c^2-3bc}{a^2}=-\frac{b^3}{a^3}$

বা, $c(a+c-3b)=-\frac{b^3}{a}$

বা, $a+c-3b=-\frac{b^3}{ac}$.

বা, $a+c=\frac{b^3}{ac}+3b=\frac{3abc-b^3}{ac}$.

$\therefore a+c=\frac{b(3ac-b^2)}{ac}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c=0$ দ্বিঘাত সমীকরণের মূনদ্বয় $\alpha ,\beta$. $\alpha =r\beta$ হলে, মূলদ্বয় হরে $r\beta ,\beta$

$\therefore r\beta +\beta =-\frac{b}{a}$

বা, $\beta (r+1)=-\frac{b}{a}$

বা, ${\beta }^2(r+1{)}^2=\frac{b^2}{a^2}$ [বর্গ করে]

বা, ${\beta }^2=\frac{b^2}{a^2(r+1{)}^2}$

আবার, $r\beta \cdot \beta =\frac{c}{a}$

বা, $r{\beta }^2=\frac{c}{a}$

বা, $r\cdot \frac{b^2}{a^2(r+1{)}^2}=\frac{c}{a}\left[\right(1)$ নং হতে মান বসিয়ে$]$

বা, $a^2(r+1{)}^{2}c=ra{b}^2$

বা, $\frac{(r+1{)}^2}{r}=\frac{a{b}^2}{a^{2}c}$

$\therefore \frac{(r+1{)}^2}{r}=\frac{b^2}{ac}$ (দেখানো হলো)