সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক :…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ABC সমকোণী ত্রিভুজে, 

$\begin{array}{cc}AC& =\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}\\ & =\sqrt{1^2-{\cos }^2\theta }\\ & =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }\\ & =\sqrt{{\sin }^2\theta }=\sin \theta \end{array}$ 

এখন, $\sin (\pi .\mathrm{BC})=\cos (\pi .\mathrm{AC})$
বা, $\sin (\pi \cos \theta )=\cos (\pi \sin \theta )$
বা, $\cos (\pi \sin \theta )=\sin (\pi \cos \theta )$
বা, $\sin (\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin \theta )=\sin (\pi \cos \theta )$
বা, $\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin \theta =\pi \cos \theta$
বা, $\frac{1}{2}\pm \sin \theta =\cos \theta$
বা, $\cos \theta \pm \sin \theta =\frac{1}{2}$
বা, $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta =\frac{1}{2\sqrt{2}}[\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\cos \frac{\pi }{4}\cos \theta \pm \sin \frac{\pi }{4}\sin \theta =\frac{1}{2\sqrt{2}}$
বা, $\cos (\theta \pm \frac{\pi }{4})=\frac{1}{2\sqrt{2}}$
বা, ${\cos }^2(\theta \pm \frac{\pi }{4})=\frac{1}{8}$ [বর্গ করে]
বা, $1-{\sin }^2(\theta \pm \frac{\pi }{4})=\frac{1}{8}$
বা, ${\sin }^2(\theta \pm \frac{\pi }{4})=1-\frac{1}{8}=\frac{8-1}{8}$
বা, ${\sin }^2(\theta \pm \frac{\pi }{4})=\frac{7}{8}$
বা, $\sin (\theta \pm \frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$
ना, $\theta \pm \frac{\pi }{4}={\sin }^{-1}\left(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}\right)$
বা, $\theta \pm \frac{\pi }{4}={\mathrm{cosec}}^{-1}\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$
$\therefore \theta =\pm \frac{\pi }{4}+{\mathrm{cosec}}^{-1}\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ (দেখানো হলো) 

'খ' হতে প্রাপ্ত, $\mathrm{AC}=\sin \theta$
এখন, $\sqrt{3}\mathrm{BC}-\mathrm{AC}=1$
বা, $\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta =1$
বা, $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta -\frac{1}{2}\sin \theta =\frac{1}{2}$

[উভয়পক্ষকে $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1}$ বা, 2 দ্বারা ভাগ করে পাই] 

বা, $\cos \frac{\pi }{6}\cos \theta -\sin \frac{\pi }{6}\sin \theta =\frac{1}{2}$
বা, $\cos (\frac{\pi }{6}+\theta )=\cos \frac{\pi }{3}$

$[\because \cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos (A+B\left)\right]$

বা, $\frac{\pi }{6}+\theta =2n\pi \pm \frac{\pi }{3}$; যেখানে $n\in Z$
বা, $\theta =2n\pi \pm \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}$
বা, $\theta =2n\pi +\frac{\pi }{6},2n\pi -\frac{\pi }{2}$
$\therefore \theta =(12n+1)\frac{\pi }{6},(4n-1)\frac{\pi }{2};$ যেখানে $n\in Z$
$n=0$ হলে, $\theta =\frac{\pi }{6},-\frac{\pi }{2}$
$n=1$ হলে, $\theta =\frac{13\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$
$n=-1$ হলে, $\theta =\frac{-11\pi }{6},\frac{-5\pi }{2}$
$n=2$ হলে, $\theta =\frac{25\pi }{6},\frac{7\pi }{2}$
$n=-2$ হলে, $\theta =\frac{-23\pi }{6},\frac{-9\pi }{2}$
$-2\pi <\theta <2\pi$ ব্যবধিতে, $\theta =-\frac{11\pi }{6},-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$
নির্ণেয় সমাধান : $\theta =-\frac{11\pi }{6},-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$.