সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপকঃ cos−1⁡α+cos−1⁡β=θ এবং…’ ২০২৪ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\alpha +\beta =\theta$

বা, $\frac{x}{a}+\frac{y}{\beta }=\theta$

বা, $\{\frac{xy}{ab}-\sqrt{(1-\frac{x^2}{a^2})(1-\frac{y^2}{b^2})}\}=\theta$

বা, $\frac{xy}{ab}-\sqrt{(1-\frac{x^2}{a^2})(1-\frac{y^2}{b^2})}=\cos \cos \theta$

বা, $\frac{xy}{ab}-\cos \theta =\sqrt{(1-\frac{x^2}{a^2})(1-\frac{y^2}{b^2})}$

বা, ${(\frac{xy}{ab}-\cos \theta )}^2=(1-\frac{x^2}{a^2})(1-\frac{y2}{b2})$

বা, $\frac{x2y^2}{a^2{b}^2}-\frac{2xy}{ab}\cos \cos \theta +\theta =1-\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2{y}^2}{a^2{b}^2}$

বা, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{2xy}{ab}\cos \theta =1-{\cos }^2\theta$

$\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{2xy}{ab}\cos \cos \theta =\theta$

[প্রমাণিত]

$\begin{array}{cc}& f\left(x\right)=\sin x\\ & \underset{―}{\underset{―}{f}\left(\theta \right)+f(\frac{\pi }{2}-\theta )=f\left(2\theta \right)+f(\frac{\pi }{2}-2\theta )}\end{array}$

বা, $\sin \theta +\sin \sin (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sin 2\theta +\sin \sin (\frac{\pi }{2}-2\theta )$

বা, $\sin \theta +\cos \theta =\sin 2\theta +\cos 2\theta$

বা, $\cos \theta -\cos 2\theta =\sin 2\theta -\sin \theta$

বা, $2\sin \frac{3}{2}\theta \sin \frac{1}{2}\theta =2\sin \frac{1}{2}\theta \cos \frac{3}{2}\theta$

বা, $2\sin \frac{3}{2}\theta \sin \frac{1}{2}\theta -2\sin \frac{1}{2}\theta \cos \frac{3}{2}\theta =0$

বা, $\sin \frac{1}{2}\theta (\sin \frac{3}{2}\theta -\cos \frac{3}{2}\theta )=0$

হয়, $\sin \frac{1}{2}\theta =0$

অর্থাৎ, $\frac{1}{2}\theta =n\pi$

$\theta =2n\pi ,n\in z$

অথবা, $\sin \frac{3}{2}\theta -\cos \frac{3}{2}\theta =0$

$\begin{array}{cc}\tan \frac{3}{2}\theta & =1\\ {\tan }^{\frac{3}{2}}\theta & =\tan \frac{\pi }{4}\\ \frac{3}{2}\theta & =n\pi +\frac{\pi }{4}\\ \theta & =\frac{2}{3}(n\pi +\frac{\pi }{4})\end{array}$

হলে$n=0\text{ হলে, }\theta =0,\frac{\pi }{6}$

অর্থাৎ, প্রদত্ত সীমার মধ্যে সমাধান হলো $0\frac{\pi }{5}$ (Ans.)