সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক : দ্বিঘাত…’ রংপুর সরকারি কলেজ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+b=0$ সমীকরণটির

মূলদ্বয় $m\alpha$ ও $3n\alpha$

$\therefore m\alpha +3n\alpha =-\frac{b}{a}$

বা, $\alpha (m+3n)=\frac{-b}{a}\therefore m+3n=\frac{-b}{a\alpha }.........\left(i\right)$

এবং $m\alpha \cdot 3n\alpha =\frac{b}{a}\therefore mn=\frac{b}{3a{a}^2}.......\left(ii\right)$

বামপক্ষ $=\sqrt{\frac{m}{n}}+3\sqrt{\frac{n}{m}}+\sqrt{\frac{3b}{a}}$

$=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}+\frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{m}}+\frac{\sqrt{3b}}{\sqrt{a}}=\frac{m+3n}{\sqrt{mn}}+\frac{\sqrt{3b}}{\sqrt{a}}=\frac{\frac{-b}{a\alpha }}{\sqrt{\frac{b}{3a{\alpha }^2}}}+\frac{\sqrt{3b}}{\sqrt{a}}$

$=-\frac{(\sqrt{b}{)}^2}{(\sqrt{a}{)}^2\alpha }\cdot \frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{a}\alpha }{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{3b}}{\sqrt{a}}=-\frac{\sqrt{b}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{a}}=0=$ ডানপক্ষ

$\therefore \sqrt{\frac{m}{n}}+3\sqrt{\frac{n}{m}}+\sqrt{\frac{3b}{a}}=0$ (প্রমাণিত)

a=1 ও b=-4 হলে

প্রদত্ত সমীকরণ, $x^2-4x-4=0$

সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে 

মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha +\beta =-\frac{(-4)}{1}=4$

এবং মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \beta =\frac{-4}{1}=-4$

এখন, $(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$

$=4^2-4(-4)=16+16=32$

$\therefore \alpha -\beta =\pm 4\sqrt{2}$

এখন,$\alpha +\beta$ ও $\alpha -\beta$  মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,

 $x^2-(\alpha +\beta +\alpha -\beta )x+(\alpha +\beta )(\alpha -\beta )=0$

বা, $x^2-(4\pm 4\sqrt{2})x+4.(\pm 4\sqrt{2})=0$

$\therefore x^2-(4\pm 4\sqrt{2})x\pm 16\sqrt{2}=0$ (Ans.)