সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক : একটি…’ সিলেট এমসি কলেজ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(1,1)$

নিয়ামক রেখা $x-2y+1=0$

এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e=\sqrt{2}$

ধরি, অধিবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $\mathrm{SP}=\mathrm{ePM}$

বা, $\sqrt{(x-1{)}^2+(y-1{)}^2}=\sqrt{2}\cdot \left|\frac{x-2y+1}{\sqrt{(1{)}^2+(-2{)}^2}}\right|$

বা, $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2\cdot \frac{(x-2y+1{)}^2}{5}$ [বর্গ করে]

বা, $5(x^2-2x+1+y^2-2y+1)=2(x^2+4y^2+1-4xy-4y+2x)$

বা, $5x^2-10x+5+5y^2-10y+5=2x^2+8y^2+2-8\mathrm{xy}-8y+4x$

বা, $5x^2+5y^2-10x-10y+10-2x^2-8y^2-2+8xy+8y-4x=0$

$\therefore 3x^2+8xy-3y^2-14x-2y+8=0$

নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ $3x^2+8xy-3y^2-14x-2y+8=0$.

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ...... (i)

যেখানে $a>b$

পরাবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা $e=\frac{2}{3}$

উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব, ${\mathrm{SS}}^{\prime }=8$

বা, $2\mathrm{ae}=8$

বা, 2. a. $\frac{2}{3}=8$

বা, $\frac{4a}{3}=8$

বা, $a=\frac{8\times 3}{4}$

বা, $a=6$

বা, $a^2=6^2$

$\therefore a^2=36$

আবার, (i)নং পরাবৃত্তটি $L(4,\frac{10}{3})$ বিন্দুগামী হওয়ায়,

$\frac{4^2}{a^2}+\frac{{\left(\frac{10}{3}\right)}^2}{b^2}=1$

বা, $\frac{16}{36}+\frac{100}{9b^2}=1[\because a^2=36]$

বা, $\frac{4}{9}+\frac{100}{9b^2}=1$

বা, $\frac{100}{9b^2}=1-\frac{4}{9}$

বা, $\frac{100}{9b^2}=\frac{5}{9}$

বা, $b^2=\frac{100\times 9}{9\times 5}$

বা, $b^2=20$

বা, $b=\sqrt{20}$

$\therefore b=2\sqrt{5}$

(i)নং এ $a^2\leftrightarrow b^2$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$

$\therefore$ পরাবৃত্তের $L$ বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক 

$(a\cos \theta ,b\sin \theta )=(6\cos \theta ,2\sqrt{5}\sin \theta )$.