সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক : f(x)=ax3+bx2+cx+d…’ সিলেট এমসি কলেজ ২০২৪ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=0$

$\Rightarrow a{x}^2+b{x}^2+cx+d=0$

$\Rightarrow 2x^3+0\cdot x^2+3x-5=0$

$\therefore 2x^3+3x-5=0$

সমীকরণটির মূলত্রয় $\alpha \beta \gamma$ হলে,

$\alpha +\beta +\gamma =0$

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3/2$

$\alpha \beta \gamma =5/2$

$\therefore \sum {\alpha }^2\gamma ={\alpha }^2\gamma +\alpha {\gamma }^2+{\alpha }^2\beta +{\alpha }^2{\beta }^2+{\beta }^2\gamma +\beta {\gamma }^2$

= $\alpha \gamma (\alpha +\gamma )+\alpha \beta (\alpha +\beta )+\beta \gamma (\beta +\gamma )$

= $\alpha \gamma (\alpha +\beta +\gamma -\beta )+\alpha \beta (\alpha +\beta +\gamma -\gamma )+\beta \gamma (\alpha +\beta +\gamma -\alpha )$

= $(\alpha \beta +\gamma )(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-3\alpha \beta \gamma$

= $0\cdot \left(3/2\right)-3\cdot 5/2$

= $-15/2$ (Ans)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=0$

$\Rightarrow a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0.....\left(i\right)$

$f\left(1/x\right)=0$

$\Rightarrow a/x^3+b/x^2+c/x+d=0$

$\Rightarrow \frac{a+bx+c{x}^2+d{x}^3}{x^2}=0$

$\Rightarrow a+bx+c{x}^2+d{x}^3=0$

$\therefore d{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$ ........ (ii)

(i) নং এবং (ii) নং অভিন্ন সমীকরণ হরে এদের সহগদ্বয় ও সমান হবে।

x³ এর সহগ a = d

x² এর সহগ b = c

L.H.S.

$=ac-bd$

$=dc-cd$

$=cd-cd$

= 0

R.H.S

$\therefore a{a}^{\prime }-bd=0$