সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক : f(x)=cos⁡x.…’ সরকারি আজিজুল হক কলেজ ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়াআছে, $f\left(x\right)=\cos x$

$\therefore f\left(2x\right)=\cos 2x$

$f\left(3x\right)=\cos 3x$

এখানে, $f\left(x\right)+f\left(2x\right)+f\left(3x\right)=0$; যখন$-2\pi \le x\le 2\pi$

বা, $\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0$

বা, $\cos 3x+\cos x+\cos 2x=0$

বা, $2\cos \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}+\cos 2x=0$

বা, $2\cos 2x\cos x+\cos 2x=0$বা, $\cos 2x(2\cos x+1)=0$

হয়, $\cos 2x=0$

বা, $2x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$, যেখানে$n\in Z$

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{4}$

অথবা, $2\cos x+1=0$

বা, $2\cos x=-1$

বা, $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\therefore x=2n\pi \pm \frac{2\pi }{3}$, যেখানে$n\in Z$

$n=0$হলে,$x=\frac{\pi }{4},\pm \frac{2\pi }{3}$

$n=1$হলে, $x=\frac{3\pi }{4},\frac{8\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$

$n=-1$হলে, $x=-\frac{\pi }{4},-\frac{4\pi }{3},-\frac{8\pi }{3}$

$n=2$হলে, $x=\frac{5\pi }{4},\frac{14\pi }{3},\frac{10\pi }{3}$

$n=-2$হলে, $x=-\frac{3\pi }{4},-\frac{10\pi }{3},-\frac{14\pi }{3}$

$n=3$হলে, $x=\frac{7\pi }{4},\frac{20\pi }{3},\frac{16\pi }{3}$

$n=-3$হলে, $x=-\frac{5\pi }{4},-\frac{16\pi }{3},-\frac{20\pi }{3}$

$n=4$হলে, $x=\frac{9\pi }{4},\frac{26\pi }{3},\frac{22\pi }{3}$

$n=-4$হলে, $x=-\frac{7\pi }{4},-\frac{22\pi }{3},-\frac{26\pi }{3}$

$-2\pi \le x\le 2\pi$ব্যবধিতে

$x=-\frac{2\pi }{3},-\frac{4\pi }{3},-\frac{3\pi }{4},-\frac{5\pi }{4},-\frac{7\pi }{4},-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{4},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$

নির্ণেয়সমাধান :

$x=-\frac{2\pi }{3},-\frac{4\pi }{3},-\frac{3\pi }{4},-\frac{5\pi }{4},-\frac{7\pi }{4},-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{4},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}.$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

$\therefore f(\frac{\pi }{2}-x)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$

এখানে, $\sin \left\{\pi f\right(x\left)\right\}=\cos \left\{\pi f(\frac{\pi }{2}-x)\right\}$

বা, $\sin (\pi \cos x)=\cos (\pi \sin x)$

বা, $\sin (\pi \cos x)=\sin (\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin x)$

বা, $\pi \cos x=\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin x$

বা, $\cos x=\frac{1}{2}\pm \sin x$

বা, $\cos x\pm \sin x=\frac{1}{2}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

বা, $\cos \frac{\pi }{4}\cos x\pm \sin \frac{\pi }{4}\sin x=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

বা, $\cos (x\pm \frac{\pi }{4})=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

বা, $x\pm \frac{\pi }{4}={\cos }^{-1}\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\therefore x=\pm \frac{\pi }{4}+{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$. ((প্রমাণিত)