সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক: f(x)=sin⁡x এবং…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

$\therefore f\left(\pi g\right(x\left)\right)=g\left(\pi f\right(x\left)\right)=\cos x$

$\Rightarrow \sin (\pi \cos x)=\cos (\pi \sin x)$

$\Rightarrow \sin (\pi \cos x)=\sin (\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin x)$

$\Rightarrow \pi \cos x=\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin x$

$\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}\pm \sin x$

$\Rightarrow \cos x\pm \sin x=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \cos x+{\sin }^{2}x\pm 2\sin x\cos x=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \pm \sin 2x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \sin 2x=\pm \frac{3}{4}$

$\Rightarrow 2x\pm {\sin }^{-1}(\pm \frac{3}{4})=\pm \sin \left(\frac{3}{4}\right)$

$\Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}{\sin }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ (দেখানো হল)

দেওয়া আছে,

$A={\sin }^{-1}\frac{3}{5},B={\cos }^{-1}\frac{5}{13},C={\cot }^{-1}2,D={\tan }^{-1}\frac{28}{29}$

$\therefore LHS=2A+B$

$=2{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\cos }^{-1}\frac{5}{13}$

$=2{\tan }^{-1}\frac{3}{4}+{\tan }^{-1}\frac{12}{5}$

$={\tan }^{-1}\frac{2\cdot \frac{3}{4}}{1-\frac{9}{16}}+{\tan }^{-1}\frac{12}{5}$

$={\tan }^{-1}\frac{24}{7}+{\tan }^{-1}\frac{12}{5}$

$={\tan }^{-1}\frac{24/7+12/5}{1-\frac{24}{7}\cdot \frac{12}{5}}$

$={\tan }^{-1}\frac{\frac{120+84}{35}}{\frac{-253}{35}}$

$={\tan }^{-1}\frac{204}{-253}$

$\therefore R\cdot H\cdot S=2(C+D)$

$=2({\cot }^{-1}2+{\tan }^{-1}\frac{28}{29})$

$=2({\tan }^{-1}\frac{1}{2}+{\tan }^{-1}\frac{28}{29})$

$=2{\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{28}{29}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{28}{29}}\right)$

$=2{\tan }^{-1}{\left(\frac{\frac{85}{58}}{30}\right)}^4$

$=2{\tan }^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)$

$={\tan }^{-1}\frac{2\cdot \frac{17}{6}}{1-{\left(\frac{17}{6}\right)}^2}$

$={\tan }^{-1}(-\frac{204}{253})$

$\therefore \mathrm{LH}\cdot S=R\cdot H\cdot S$