সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক : f(x)=x,x∈R.…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x$ ; যেখানে $x\in R$

প্রদত্ত অসমতা, $\frac{1}{\left|f\right(x)-2|}\ge 2$ ; যেখানে $x\ne 2$

$\Rightarrow \frac{1}{|x-2|}\ge 2$

$\Rightarrow |x-2|\le \frac{1}{2}$ [বিপরীতকরণ করে এবং অসমতার দিক পরিবর্তন করে]

$\Rightarrow -\frac{1}{2}\le x-2\le \frac{1}{2}$ [পরম মানের সূত্রানুসারে]

$\Rightarrow -\frac{1}{2}+2\le x-2+2\le \frac{1}{2}+2$ [উভয়পক্ষে $2$ যোগ করে]

$\Rightarrow \frac{3}{2}\le x\le \frac{5}{2}$

যেহেতু প্রশ্নে দেওয়া আছে $x\ne 2$, তাই শর্তসাপেক্ষে সমাধান হবে:

$\frac{3}{2}\le x<2$ অথবা $2<x\le \frac{5}{2}$

নির্ণেয় সমাধান সেট:

অথবা$S=\{x\in R:\frac{3}{2}\le x<2\text{ অথবা }2<x\le \frac{5}{2}\}$

সংখ্যা রেখাটি নিচের দেওয়া হলো-

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x$ ; যেখানে $x\in R$

$\therefore \left\{f\right(x){\}}^2=x^2$

শর্তমতে,

$\left|f\right(x)-1|<\frac{1}{5}$

$\Rightarrow |x-1|<\frac{1}{5}$

$\Rightarrow -\frac{1}{5}<x-1<\frac{1}{5}$

$\Rightarrow -\frac{1}{5}+1<x-1+1<\frac{1}{5}+1$ [উভয়পক্ষে $1$ যোগ করে]

$\Rightarrow \frac{4}{5}<x<\frac{6}{5}$

যেহেতু অসমতার প্রতিটি পদ ধনাত্মক, তাই উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

$\Rightarrow {\left(\frac{4}{5}\right)}^2<x^2<{\left(\frac{6}{5}\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{16}{25}<x^2<\frac{36}{25}$

উভয়পক্ষ থেকে $1$ বিয়োগ করে পাই:

$\Rightarrow \frac{16}{25}-1<x^2-1<\frac{36}{25}-1$

$\Rightarrow \frac{16-25}{25}<x^2-1<\frac{36-25}{25}$

$\Rightarrow -\frac{9}{25}<x^2-1<\frac{11}{25}$

আমরা জানি,

$-\frac{11}{25}<-\frac{9}{25}$।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

$\Rightarrow -\frac{11}{25}<-\frac{9}{25}<x^2-1<\frac{11}{25}$

$\Rightarrow -\frac{11}{25}<x^2-1<\frac{11}{25}$

$\Rightarrow |x^2-1|<\frac{11}{25}$

$\therefore \left|\right\{f\left(x\right){\}}^2-1|<\frac{11}{25}$ (দেখানো হলো)