সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক : h(x)=−8×1−x2…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

একটি ধারার সমষ্টি $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!n}{(n-1)!3^n}$

ধারাটির $n$ তম পদ, $U_n=\frac{n!n}{(n-1)!3^n}$

এবং $n+1$ তম পদ $U_{n+1}=\frac{(n+1)!(n+1)}{(n+1-1)!3^{n+1}}=\frac{(n+1)!(n+1)}{n!3^{n+1}}$

এখন,

$\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{\frac{(n+1)!(n+1)}{n!3^{n+1}}}{\frac{n!n}{(n-1)!3^n}}$

$=\frac{(n+1)n!(n+1)}{n!3^n\cdot 3}\cdot \frac{(n-1)!3^n}{n(n-1)!n}$

$=\frac{(n+1{)}^2}{3n^2}$

$\therefore \underset{n\to \infty }{lim}\frac{U_{n+1}}{U_n}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{(n+1{)}^2}{3n^2}$

$=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n^2{(1+\frac{1}{n})}^2}{3n^2}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^2}{3}=\frac{1}{3}<1$

যেহেতু $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{U_{n+1}}{U_n}<1$

সুতরাং ধারাটি অভিসারি।

সমাধানঃ দেওয়া আছে,

$h\left(x\right)=\frac{-8x}{1-x^2}$

$=\frac{-8x}{(1+x)(1-x)}$

$=\frac{-8(-1)}{(1+x)(1+1)}\cdot \frac{-8\left(1\right)}{(1-x)(1+1)}$

$=4\left[\right(1+x{)}^{-1}-(1-x{)}^{-1}]$

$=4\left[\begin{array}{c}\{1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^r{x}^r+\cdots \}\\ \{-1+x+x^2+x^3+\cdots +x^r+\cdots \}\end{array}\right]$

$\therefore x^r$ এর সহগ $=4\left[\right(-1{)}^r-1]$

নির্ণেয় x^r এর সহগ = $4\left[\right(-1{)}^r-1]$