সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপকঃ x2 +…’ কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ ২০২৪ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$x^2+y^2-8x-6y+16=0\text{-(1) }$

$x^2+y^2-6x=0$ ....... (ii)

(i)নং ও (ii) নং বৃত্তদ্বেয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ হল,

$(x^2+y^2-8x-6y+16)-(x^2+y^2-6x)=0$

$\Rightarrow x^2+y^2-8x-6y+16-x^2-y^2+6x=0$

$\Rightarrow -2x-6y+16=0$

$\Rightarrow -2(x+3y-8)=0$

$\Rightarrow x+3y-8=0$

$\Rightarrow x+3y=8$

$\Rightarrow \frac{x}{8}+\frac{y}{8/3}=0.....\left(iii\right)$

(iii) নং রেখা x-অক্ষকে $A(8,0)$বিন্দুতে এবং y অক্ষকে $B(0,\frac{8}{3})$ বিন্দুতে ছেদ করে।

আবার, O বিন্দু হল মূলবিন্দু (0,0)

ধরি, O, A, B বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নিম্নরূপ :

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0.....\left(iv\right)$

(iv) নং বৃত্ত 0(0,0) বিন্দুগামী।

$0^2+0^2+2g\cdot o+2f\cdot 0+c=0$

$\therefore c=0....\left(v\right)$

এবং, (iv) নং বৃত্ত A(8,0) বিন্দুগামী।

$8^2+o^2+2g\cdot 8+2f\cdot o+c=0$

$\Rightarrow 64+16g+0=0[v\approx =2c]$

$\Rightarrow 16g=-64$

$\therefore g=-4$

আবার, (iv) নং বৃত্ত$B(0,\frac{8}{3})$বিন্দুগামী।

$0^2+{\left(\frac{8}{3}\right)}^2+2g\cdot 0+2f\cdot \frac{8}{3}+c=0$

$\Rightarrow \frac{64}{9}+\frac{16/3}{3}+0=0\left[0\pi 20\right].$

$\Rightarrow \frac{16}{3}f=\frac{64}{9}$

$\therefore f=\frac{-4}{3}$

$x^2+y^2+2(-4)x+2\left(\frac{-4}{3}\right)y+0=0$

$\Rightarrow x^2+y^2-8x-\frac{8}{3}y=0$

$\therefore 3(x^2+y^2)-24x-8y=0$

এটিই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে,

$x^2+y^2-8x-6y+16=0.....\left(i\right)$

(i) নং বৃত্তকে বৃত্তর আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$2g=-8,2f=-6;c=16$

$\therefore g=-4\therefore f=-3$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র (4,3) এবং ব্যাসার্ধ = $\sqrt{(-4{)}^2+(-3{)}^2-16}$

= 5

আবার,

(i)নং বৃত্তের স্পর্শক $3x-4y-10=0$ রেখার উপর লম্ব।

$\therefore$ বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ হল,

$3x-4y-10=0$ ........ (ii)

যেহেতু, (ii) নং রেখা (i) নং বৃত্তের স্পর্শক।

$\therefore$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র হতে (ii) নং রেখার লম্বদূরত্ব।

$\Rightarrow 5=\left|\frac{4\times 4+3\times 3+k}{\sqrt{4^2+3^2}}\right|$

$\Rightarrow 5=\left|\frac{16+9+k}{\sqrt{25}}\right|$

$\Rightarrow 5=|\frac{25}{5}+k|$

$\Rightarrow 25+k1=25$

$\Rightarrow 25+k=\pm 25$

(+) নিয়ে, $$ আবার, (-) নিয়ে,

$25+k=2525+k=-25$

$\therefore K=0k=-50.$

$\therefore k$-এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

k = 0 হলে,  4x + 3y = 0

এবং k = 0 হলে, 4x + 3y – 50 = 0

$\therefore$স্পর্শকের সমীকরণ, $4x+3y=04x+3y-50=0$