সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপকঃ z=−2+2i একটি…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x^3+2x^2+x+3$

এখানে, $f\left(x\right)=x^3+2x^2+x+3=0$ সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha ,\beta ,\gamma$

$\therefore \alpha +\beta +\gamma =-\frac{2}{1}=-2$

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{1}{1}=1$

$\alpha \beta \gamma =-\frac{3}{1}=-3$

$\sum {\alpha }^3={\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$

$={\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3-3\alpha \beta \gamma +3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-\alpha \beta -\beta \gamma -\gamma \alpha )+3\alpha \beta \gamma$

$=(-2)\left\{\right(-2{)}^2-3\left(1\right)\}+3(-3)$

$=(-2)(4-3)-9(\alpha +\beta +\gamma )\left\{\right(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-3(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )\}+3\alpha \beta \gamma$

$=-2-9$

$=-11$

নির্ণেয় মান : -11

দেওয়া আছে,

$z=-2+2i$

$\therefore \overline{z}=-2-2i$

আবার,

$\overline{z}=(a^2+2)+ib$

$-2-2i=(a^2+2)+ib$

$(a^2+2)+ib=-2-2i---\left(1\right)$

(1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষ হতে বাস্তব এবং অবাস্তব অংশ সমীকৃত করে পাই,

$(a^2+2)=-2$

$a^2=-2-2$

$a^2=-4$

$a^2=4i^2[\because i^2=-1]$

$\therefore a=\pm 2i$

এবং $b=-2$

সুতরাং দেখা যাচ্ছে যে, $a$ অবাস্তব সংখ্যা এবং $b$ বাস্তব সংখ্যা।