সৃজনশীলঃ ‘উদ্দীপক: z=x+iy একটি…’ সিলেট এমসি কলেজ ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $z=x+\mathrm{iy}$

$\therefore |2z+3|=|3z+1|$

বা, $\left|2\right(x+iy)+3|=|3(x+iy)+1|[\because z=x+iy]$

বা, $\left|\right(2x+3)+i.2y|=|(3x+1)+i.3y|$

বা, $\sqrt{(2x+3{)}^2+(2y{)}^2}=\sqrt{(3x+1{)}^2+(3y{)}^2}$

বা, $4x^2+12x+9+4y^2=9x^2+6x+1+9y^2$

বা, $9x^2-4x^2+9y^2-4y^2+6x-12x+1-9=0$

বা, $5x^2+5y^2-6x-8=0$

বা, $x^2-2\left(\frac{3}{5}\right)x+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2+y^2=\frac{9}{25}+\frac{8}{5}$

$\therefore {(x-\frac{3}{5})}^2+(y-0{)}^2={\left(\frac{7}{5}\right)}^2$; যার কেন্দ্র $(\frac{3}{5},0)$ এবং ব্যাসার্ধ $\frac{7}{5}$

নির্ণেয় কেন্দ্র $(\frac{3}{5},0)$ এবং ব্যাসার্ধ $\frac{7}{5}$।.

দেওয়া আছে, $z=x+iy$

বা, $z-3i=x+iy-3i$ [উভয়পক্ষে $-3i$ যোগ করে]

বা, $z-3i=x+i(y-3)$

এখন, $\mathrm{Arg}(z-3i)=\pi$

বা, $\mathrm{Arg}\{x+i(y-3\left)\right\}=\pi$

বা, ${\tan }^{-1}\left(\frac{y-3}{x}\right)=\pi$

বা, $\frac{y-3}{x}=\tan \pi =0$

বা, $y-3=0$

$\therefore y=3$

আবার, $|z+6|=5$.

বা, $|x+iy+6|=5$

বা, $\left|\right(x+6)+iy|=5$

বা, $\sqrt{(x+6{)}^2+y^2}=5$

বা, $(x+6{)}^2+y^2=5^2$ [বর্গ করে]

বা, $x^2+12x+36+y^2=25$

বা, $x^2+12x+36+3^2-25=0[\because y=3]$

বা, $x^2+12x+20=0$

বা, $x^2+10x+2x+20=0$

বা, $x(x+10)+2(x+10)=0$

বা, $(x+10)(x+2)=0$

হয়, $x+10=0$

$\therefore x=-10$

অথবা, $x+2=0$

$\therefore x=-2$

$\therefore x=-10$ এবং $y=3$ হলে, $z=-10+3i$

আবার, $x=-2$ এবং $y=3$ হলে, $z=-2+3i$

নির্ণেয় $z$ এর মান $(-10+3i)$ অথবা, $(-2+3i)$.