সৃজনশীলঃ ‘উদ্দিপক ০১: z=a+ib…’ ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে. $p=\sqrt[3]{a+ib}$ এবং $q=x+iy$

এখন, $p=q$ হলে

$\sqrt[3]{a+ib}=x+iy$

বা,$a+ib=(x+iy{)}^3$ [ঘন করে]

বা,$a+ib=x^3+3x^2$. iy $+3x(iy{)}^2+(iy{)}^3$.

বা,$a+ib=x^3+3x^{2}y\cdot i-3x{y}^2-i{y}^3[i^3=-i]$

বা,$a+ib=x^3-3x{y}^2+(3x^{2}y-y^3)i$

উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,

$a=x^3-3x{y}^2$ এবং $b=3x^{2}y-y^3$

এখন, $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=\frac{x^3-3x{y}^2}{x}+\frac{3x^{2}y-y^3}{y}$

বা,$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=x^2-3y^2+3x^2-y^2$

বা,$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=4x^2-4y^2$

বা,$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=4(x^2-y^2)$

$\therefore 4(x^2-y^2)=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}($ প্রমাণিত)

[বি. দ্র: $x$ এবং y এর পরিবর্তে a এবং b হবে।]

দেওয়া আছে, $z=x+iy$

$3|z-1|=2|z-2|$

$\Rightarrow 3|x+iy-1|=2|x+iy-2|$

$\Rightarrow 3|(x-1)+iy|=2|(x-2)+iy|$

$\Rightarrow 3\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=2\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}[:|z|=\sqrt{x^2+y^2}]$

$\Rightarrow 9(x^2-2x+1+y^2)=4(x^2-4x+4+y^2)$

$\Rightarrow 9x^2-18x+9+9y^2=4x^2-16x+16+4y^2$

$\Rightarrow 5x^2+5y^2-2x-7=0$

$\Rightarrow 5(x^2+y^2)-2x-7=0$

$\Rightarrow x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{7}{5}=0$

$\therefore x^2+y^2-2\cdot \frac{1}{5}\cdot x-\frac{7}{5}=0$

এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ।

নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ, $x^2+y^2-2\cdot \frac{1}{5}\cdot x-\frac{7}{5}=0$