সৃজনশীলঃ ‘উপাত্ত:…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দুইটি অধীন ঘটনার সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি হলো- দুইটি ঘটনা অধীন হলে তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা ঘটনাদ্বয়ের একটির শর্তহীন সম্ভাবনা ও অন্যটির শর্তাধীন সম্ভাবনার গুণফলের সমান। অর্থাৎ A ও B দুইটি অধীন ঘটনা হলে, $P(A\cap B)=P\left(A\right)P\left(B\setminus A\right)=P\left(B\right)P\left(A\setminus B\right)$ প্রমাণ: মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্রে A ও B দুইটি অধীন ঘটনা। ধরি, নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান সংখ্যা, n(S) = n

চিত্র: $P(A\cap B)=P\left(A\right)P(B\mid A)=P\left(B\right)P(A\mid B)$

A ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা, $n\left(A\right)=n_a$

B ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা, $n\left(B\right)=n_b$

(A∩B) ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা, $n(A\cap B)=n_{\mathrm{ab}}$

A ঘটনার সম্ভাবনা, $P\left(A\right)=\frac{n_a}{n}$

এবং  B ঘটনার সম্ভাবনা,  $P\left(B\right)=\frac{n_b}{n}$

A ঘটনার সাপেক্ষে B ঘটনার সম্ভাবনা,$P\left(B\setminus A\right)=\frac{n_{\mathrm{ab}}}{n_a}$

B ঘটনার সাপেক্ষে A ঘটনার সম্ভাবনা, $P\left(A\setminus B\right)=\frac{n_{\mathrm{ab}}}{n_b}$

$\therefore P(A\cap B)=\frac{n_{\mathrm{ab}}}{n}=\frac{n_a}{n}\cdot \frac{n_{\mathrm{ab}}}{n_a}=P\left(A\right)\cdot P\left(B\setminus A\right)$

আবার, $P(A\cap B)=\frac{n_{\mathrm{ab}}}{n}=\frac{n_b}{n}\cdot \frac{n_{\mathrm{ab}}}{n_b}=P\left(B\right)\cdot P\left(A\setminus B\right)$ অর্থাৎ $P(A\cap B)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\setminus A\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\setminus B\right)$. (প্রমাণিত)