সৃজনশীলঃ ‘উপবৃত্ত পরাবৃত্ত…’ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $AB$ রেখার সমীকরণ, $3y-2x=12$

বा. $\frac{3y}{12}-\frac{2x}{12}=1$

বा. $\frac{y}{4}+\frac{x}{-6}=1$ বा, $\frac{x}{-6}+\frac{y}{4}=1$ 

$\therefore OA=1-6\mid =6$ একক

$\therefore a=6$

$OB=|4|=4$ একক

$b=4\therefore a>b$ 

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হবে $x=\pm ae$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $c=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}$

$=\sqrt{\frac{6^2-4^2}{6^2}}=\sqrt{\frac{36-16}{36}}=\sqrt{\frac{20}{36}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ 

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ $x=\pm ae=\pm 6\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\therefore x=\pm 2\sqrt{5}$ 

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ  $x=\pm 2\sqrt{5}$ 

এখানে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $A(1,3)$ অক্ষরেখা ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দু $Z(1,4)$ উপকেন্দ্র $S$ এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ,

$y=4$ 

বा, $y-4=0$$.........................\left(i\right)$

ধরি, উপকেন্দ্র $S$ এর স্থানাঙ্ক  

$(\alpha ,\beta )$

শীর্ষবিন্দু $A$ এবং উপকেন্দ্র $8$ এর মধ্যবিন্দু $Z$। তাই

$\frac{\alpha +1}{2}=1$ 

বा, $\alpha +1=2$
বा, $\alpha =2-1$ 

$\therefore \alpha =1$ 

এবং $\frac{\beta +4}{2}=3$
বा, $\beta +4=6$
বा, $\beta =6-4$ 

$\therefore \beta =2$ 

$\therefore$  উপকেন্দ্র $S(1,2)$.

ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু  P(x,y)
তাহলে, পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে  পাই,

$\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$

বা, $\sqrt{(x-1{)}^2+(y-2{)}^2}=\frac{|y-4|}{\sqrt{1^2}}$
বা, $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=(y-4{)}^2$ [বর্গ করে]
বা, $x^2-2x+1+y^2-4y+4=y^2-8y+16$
বা, $x^2-2x+1+y^2-4y+4-y^2+8y-16=0$

$\therefore x^2-2x+4y-11=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, $x^2-2x+4y-11=0$.