সৃজনশীলঃ ‘উপরের চিত্রটি লক্ষ…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ট্রলি ব্যাগের হাতল যত লম্বা হয় ব্যাগটি টানার সময় তা ভূমির সাথে তত কম কোণ তৈরি করে। অর্থাৎ হাতলটি ভূমির বেশি কাছাকাছি থাকে। আর $\theta$ এর মান কম হলে $\cos \theta$ এর মান বেশি হয়। অর্থাৎ এক্ষেত্রে ভূমি বরাবর বেগের মান বেশি হয় যাতে ব্যাগটি সহজেই টেনে নেওয়া যায়। এছাড়া ব্যবহারকারীর উচ্চতা অনুযায়ী এটি স্বাচ্ছন্দ্যে ব্যবহার করা যায়। এজন্যই ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয়।

এখানে, 

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=$$(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})-(\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})=\hat{i}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এর সমান্তরাল একক ভেক্টর $=\frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}=\frac{\hat{i}}{\sqrt{1^2}}=\hat{i}$

অতএব, PQ-এর সমান্তরাল একক ভেক্টর $\hat{i}$

এখানে,  $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PO}}=-\hat{i}-3\hat{j}-4\hat{k}$

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$

এবং $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\hat{i}$ ['গ' হতে]

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$-এর মধ্যবর্তী কোণ $\angle \mathrm{POQ}={\theta }_1$ হলে,

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|\cos {\theta }_1$

বা, $\cos {\theta }_1=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}$

$=\frac{2+9+16}{\sqrt{1+9+16}\times \sqrt{4+9+16}}=\frac{27}{\sqrt{26\times 29}}$

$\therefore {\theta }_1={\cos }^{-1}\left(\frac{27}{\sqrt{26\times 29}}\right)={10.49}^{\circ }$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{PO}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\angle \mathrm{OPQ}={\theta }_2$ হলে,

$\cos {\theta }_2=\frac{\overrightarrow{\mathrm{PO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{PO}}||\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}=\frac{-1}{\sqrt{1+9+16}\times \sqrt{1}}$

বা, ${\theta }_2={\cos }^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{26}}\right)={101.3}^{\circ }$

এখানে, ${\theta }_1\ne {\theta }_2$

সুতরাং, উদ্দীপকের আলোকে ∠POQ এবং ∠OPQ এর মান সমান না।