সৃজনশীলঃ ‘উৎকেন্দ্রিকতা: e =…’ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় $S(2,8)$ ও $S^{\prime }(2,4)$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e=2$ 
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 

$\begin{array}{cc}2\mathrm{be}& =\sqrt{(2-2{)}^2+(8-4{)}^2}\\ & =\sqrt{0^2+4^2}=\sqrt{16}\end{array}$ ]

বা, $2\mathrm{be}=4$
বা, 2. b. $2=4[\because e=2]$
বা, $4b=4$
বা, $b=1$
বা, $b^2=1^2$ 

$\therefore b^2=1$ 

আবার, $e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}$
বা, $e^2=1+\frac{a^2}{b^2}$ [বর্গ করে]
বা, $2^2=1+\frac{a^2}{1}$
বা, $a^2=4-1$
বা, $a^2=3$ 

অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক  

$=(\frac{2+2}{2},\frac{8+4}{2})=(\frac{4}{2},\frac{12}{2})=(2,6)$ 

$\therefore$ অধিবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{(y-6{)}^2}{1}-\frac{(x-2{)}^2}{3}=1$
বা, $(y-6{)}^2-\frac{(x-2{)}^2}{3}=1$
নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ, $(y-6{)}^2-\frac{(x-2{)}^2}{3}=1$. 

এখানে, 

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় $S(2,8)$ ও $S^{\prime }(2,4)$

$\therefore$ উপকেন্দ্র $F$ এর স্থানাঙ্ক $=(\frac{2+2}{2},\frac{8+4}{2})=(\frac{4}{2},\frac{12}{2})=(2,6)$ 

উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,

$\frac{x-2}{2-2}=\frac{y-8}{8-4}$ 

বা, $\frac{x-2}{0}=\frac{y-8}{4}$
বা, $4(x-2)=0$
বা, $x-2=0$
নিয়ামকরেখা উপকেন্দ্রিক লম্বের সমান্তরাল।

ধরি, নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $x+k=0$

পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু  $P(x,y)$ হলে, 
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে

$\mathrm{FP}=\mathrm{PM}$

বা, $\sqrt{(x-2{)}^2+(y-6{)}^2}=\frac{|x+k|}{\sqrt{1^2}}$
বা, $(x-2{)}^2+(y-6{)}^2=(x+k{)}^2$$......\left(i\right)$ [বর্গ করে]

পরাবৃত্তটি $(2,8)$ বিन्দুগামী হওয়ায়

$(2-2{)}^2+(8-6{)}^2=(2+k{)}^2$

বা, $0^2+2^2=(2+k{)}^2$
বা, $(2+k{)}^2=4$
বা, $2+k=\pm 2$
বা, $k=\pm 2-2$
বা, $k=2-2,-2-2=0,-4$
$k=0$ হলে, $\left(i\right)$ নং হতে পাই,

$(x-2{)}^2+(y-6{)}^2=(x+0{)}^2$

বা, $x^2-4x+4+y^2-12y+36=x^2$

$\therefore y^2-4x-12y+40=0$

আবার, $k=-4$ হলে, (i)নং হতে পাই,

$(x-2{)}^2+(y-6{)}^2=(x-4{)}^2$

বা, $x^2-4x+4+y^2-12y+36=x^2-8x+16$
বা, $x^2-x^2+y^2-4x+8x-12y+4+36-16=0$.

$\therefore y^2+4x-12y+24=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, $y^2-4x-12y+40=0$
এবং $y^2+4x-12y+24=0$