সৃজনশীলঃ ‘ভেক্টর P→=(9xy2+5z)i^+(4y2+2xz)j^+(3×3+2y)k^…’ সিলেট বোর্ড ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, $\overrightarrow{A}$ ও  $\overrightarrow{B}$  দুইটি ভেক্টরের মান যথাক্রমে A ও B এবং ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$।

তাহলে, ডট গুণনের নিয়ম অনুযায়ী,  $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=AB\cos \theta$

এখানে, $\theta ={90}^{\circ }$ হলে, $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=AB\cos {90}^{\circ }=0$

অর্থাৎ, দুইটি ভেক্টরের মান অশূন্য হলেও এদের মধ্যবর্তী কোণ 90° হলে ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন শূন্য হবে।

সুতরাং, দুইটি ভেক্টরের মান শূন্য না হলেও ডট গুণন শূন্য হতে পারে।

এখানে, $\overrightarrow{P}=(9x{y}^2+5z)\hat{i}+(4y^2+2xz)\hat{j}+(3x^3+2y)\hat{k}$

$\overrightarrow{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}$

$(-1,1,1)$ অবস্থানে  $\overrightarrow{P}$ এর ডাইভারজেন্স  =?

আমরা জানি, 

$\begin{array}{cc}& \mathrm{Div}\left(\overrightarrow{P}\right)=\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}\\ & =\frac{\partial }{\partial x}(9x{y}^2+5z)+\frac{\partial }{\partial y}(4y^2+2xz)+\frac{\partial }{\partial z}(3x^3+2y)\\ & =(9y^2+0)+(8y+0)+(0+0)=9y^2+8y\end{array}$

$\therefore (-1,1,1)$ অবস্থানে $\mathrm{Div}\left(\overrightarrow{P}\right)=9\times (1{)}^2+8\times 1=9+8=17$

অতএব, $(-1,1,1)$ অবস্থানে $\overrightarrow{P}$ এর ডাইভারজেন্স  17.

এখানে, $\overrightarrow{P}=(9x{y}^2+5z)\hat{i}+(4y^2+2xz)\hat{j}+(3x^3+2y)\hat{k}$

$\overrightarrow{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}$

ভেক্টর $\overrightarrow{P}$ অঘূর্ণনশীল হবে যদি $\mathrm{curl}\left(\overrightarrow{P}\right)=0$ হয়।

এখন,

$\begin{array}{cc}& \mathrm{curl}\left(\overrightarrow{P}\right)=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ (9x{y}^2+5z)& (4y^2+2xz)& (3x^3+2y)\end{array}\right|\\ & =\hat{i}\{\frac{\partial }{\partial y}(3x^3+2y)-\frac{\partial }{\partial z}(4y^2+2xz)\}\\ & \hat{j}\{\frac{\partial }{\partial x}(3x^3+2y)-\frac{\partial }{\partial z}(9x{y}^2+5z)\}+\\ & \hat{k}\{\frac{\partial }{\partial x}(4y^2+2xz)-\frac{\partial }{\partial y}(9x{y}^2+5z)\}\\ & =\hat{i}(2-2x)-\hat{j}(9x^2-5)+\hat{k}(2z-18xy)\end{array}$

এখানে, curl $\left(\overrightarrow{P}\right)\ne 0$. সুতরাং, ভেক্টর $\overrightarrow{P}$ অঘূর্ণনশীন নয়।