সৃজনশীলঃ ‘ভূ-পৃষ্ঠে সঠিক সময়…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৫ – পর্যাবৃত্ত গতি, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

গ্রহগতি সম্পর্কিত কেপলারের দ্বিতীয় সূত্রটি হলো-

যেকোনো গ্রহ ও সূর্যের সাথে সংযোগকারী রেখা সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। চিত্রে কোনো গ্রহ কক্ষপথের P হতে Q এবং R হতে ৪ বিন্দুতে যেতে যদি একই সময় নেয় তবে কেপলারের সূত্রানুযায়ী PFQ-এর ক্ষেত্রফল = RFS-এর ক্ষেত্রফল।

উদ্দীপক় হতে, ভূপৃঠ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=9.81m{s}^{-2}$

ভূপৃষ্ঠ থেকে গভীরতা, $d=4\times {10}^{6}m$
বস্তুর ভর, $m=10\mathrm{kg}$

$\therefore$ বস্তুটির ওজন, $W={\mathrm{mg}}^{\prime }=\mathrm{mg}(1-\frac{d}{R})$

$=10\times 9.81\times (1-\frac{4\times {10}^6}{6.4\times {10}^6})$

$=36.7875N$

সুতরাং, 10 kg ভরের বস্তুটির ঐ গভীরতায় ওজন হবে 36.7875 N।

উদ্দীপক হতে, ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g=9.81m{s}^{-2}$ ভূপৃষ্ঠ হতে উচ্চতা, $h=4\times {10}^{6}m$

ভূপৃষ্ঠ হতে গভীরতা, $d=4\times {10}^{6}m$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R=6.4\times {10}^{6}m$

উচ্চতায়: অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g^{\prime }=g{\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$

বা, $\frac{g^{\prime }}{g}={\left(\frac{6.4\times {10}^6}{6.4\times {10}^6+4\times {10}^6}\right)}^2$

বা, $\sqrt{\frac{g^{\prime }}{g}}=\frac{8}{13}$ বा, $\sqrt{\frac{g}{g^{\prime }}}=\frac{13}{8}$

$\therefore \frac{T^{\prime }}{T}=\frac{13}{8}[\because T\propto \frac{1}{\sqrt{g}}]$

ধরি, $4\times {10}^{6}m$ উচ্চচায় $n_1$ সংখ্যক অর্ধদোলন কম দেয়

$\therefore \frac{T^{\prime }}{T}=\frac{86400}{86400-n_1}$

বা, $\frac{13}{8}=\frac{86400}{86400-n_1}$

বা, $86400-n_1=86400\times \frac{8}{13}$

বা, $n_1=33230.76923s=9.231h$

$\therefore 4\times {10}^{6}m$ উচ্চতায় সেকেন্ড দোলকটি দিনে 9.231 h সময় হারাবে।

গভীরতায় : অভিকর্ষজ ত্বরণ,

$g^{\prime }=g(1-\frac{d}{R})$

বা, $\frac{g^{\prime }}{g}=1-\frac{4\times {10}^6}{6.4\times {10}^6}=\frac{3}{8}$

বা, $\sqrt{\frac{g^{\prime }}{g}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$

$\therefore \frac{T}{T^{\prime }}=\sqrt{\frac{3}{8}}[\because T\propto \frac{1}{\sqrt{g}}]$

আবার, ধরি, $4\times {10}^{6}m$ গভীরতায় প্রতিদিন $n_2$ সংখ্যক অর্ধদোলন কম দেয়।

$\therefore \frac{T^{\prime }}{T}=\frac{86400}{86400-n_2}$

বা, $86400-n_2=86400\times \frac{T}{T^{\prime }}=86400\times \sqrt{\frac{3}{8}}$

$\therefore n_2=33491.02156s=9.3031h$

$\therefore 4\times {10}^{6}m$ উচ্চতায় সেকেন্ড দোলকটি দিনে 9.303 h সময় হারাবে। অতএব, উদ্দীপকে উল্লেখিত উচ্চতায় এবং গভীরতায় সেকেন্ড, দোলকটি দিনে একই পরিমাণ সময় হারাবে না।