সৃজনশীলঃ ‘ভূপৃষ্ঠে একটি সেকেন্ড…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ – পর্যাবৃত্ত গতি, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

পর্যাবৃত্ত গতিসম্পন্ন কোন বস্তু যদি পর্যায়কালের অর্ধেক সময় কোন নির্দিষ্ট দিকে এবং বাকি অর্ধেক সময় একই পথে তার বিপরীত দিকে চলে তবে ঐ বস্তুর গতিকে সরল ছন্দিত স্পন্দন বলে। কম্পনশীল সুরশলাকর বাহু তার পর্যায়কালের অর্ধেক সময় একটি নির্দিষ্ট দিকে চললে বাকি অর্ধেক সময় বিপরীত দিকে চলে। অর্থাৎ সুরশলাকার বাহুতে স্পন্দন গতির বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান। 

এখানে,

$\begin{array}{cc}& T=2\sec \\ & g=9.8{\mathrm{ms}}^{-2}\\ & L=?\end{array}$

আমরা জানি,

বা$\begin{array}{cc}T& =2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\\ \text{ বা, }L& =\frac{{\mathrm{gT}}^2}{4{\pi }^2}\\ & =\frac{9.8\times 2^2}{4\times {\pi }^2}\\ & =0.9929m.\text{ [Ans] }\end{array}$

ভূপৃষ্ঠে দোলনকাল, $T=2s$ [সেকেন্ড দোলক]

খনির অভ্যন্তরে দিনে $20s$ ধীরে চলে অর্থাৎ দিনে অর্ধদোলন সংখ্যা $\left(86400–20\right)$ টি $=86380$ টি

অর্থাৎ $86380$ টি অর্ধদোলনে সময় লাগে $86400s$

$\therefore 2$ টি অর্ধদোলনে সময় লাগে $=\frac{86400\times 2s}{86380}=2.000463s$

খনির গভীরে পর্যায়কাল, $T^{\prime }=2.000463s$

খনির গভীরে অভিকর্ষ ত্বরণ $g^{\prime }$ এবং খনির গভীরতা $h$ হলে,

$\therefore g^{\prime }=(1-\frac{h}{R})g$

বা, $\frac{g^{\prime }}{g}=(1-\frac{h}{R})$

আমরা জানি, $\frac{T}{T^{\prime }}=\sqrt{\frac{g^{\prime }}{g}}=\sqrt{1-\frac{h}{R}}$

বা, ${\left(\frac{T}{T^{\prime }}\right)}^2=1-\frac{h}{R}$

বা, $\frac{h}{R}=1-{\left(\frac{T}{T^{\prime }}\right)}^2=1-{\left(\frac{2s}{2.000463s}\right)}^2=1-0.99954$

বা, $h=4.6\times {10}^{-4}\times R$

বা, $h=4.6\times {10}^{-4}\times 6.4\times {10}^{6}m=2944m$

আবার পাহাড়ের উচ্চতায় দিনে 1 মিনিট $=60s$ ধীরে চলে অর্থাৎ দিনে $60$টি অর্ধদোলন কম দেয়।

∴ অর্ধদোলন সংখ্যা, $\left(86400–60\right)$ টি $=86340$ টি

অর্থাৎ, $86340$ টি অর্ধ দোলনে সময় $86400s$

বা, $2$ টি অর্ধ দোলনে সময় $=\frac{86400\times 2s}{86340}=2.001389s$

অর্থাৎ পাহাড়ে দোলনকাল, $T_1=2.001389s$

পাহাড়ের উচ্চতা, $h^{\prime }$ হলে,

$\frac{T}{T_1}=\sqrt{\frac{g^{\prime }}{g}}=\sqrt{{\left(\frac{R}{R+h^{\prime }}\right)}^2}=\frac{R}{R+h^{\prime }}$

বা, $\frac{T_1}{T}=\frac{R+h^{\prime }}{R}=\frac{R}{R}+\frac{h^{\prime }}{R}=1+\frac{h^{\prime }}{R}$

বা, $\frac{h^{\prime }}{R}=\frac{T_1}{T}-1$

বা, $h^{\prime }=R(\frac{T_1}{T}-1)=6.4\times {10}^{6}m(\frac{2.001389s}{2s}-1)$

বা, $h^{\prime }=4444.8m$

এখানে, $h^{\prime }>h$

$\frac{h}{h^{\prime }}=\frac{2944m}{4444.8m}=0.6623$

$\therefore h:h^{\prime }=0.6623:1$