সৃজনশীলঃ ‘φ(x)=2×1−x2,ψ(y)=2y1+y2,v(z)=cos⁡zcos⁡2zcos⁡3z.…’ ঢাকা কলেজ ২০২৬ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, 

$\begin{array}{cc}\phi \left(x\right)& =\frac{2x}{1-x^2}\\ \therefore \phi \left(a\right)& =\frac{2a}{1-a^2}\\ \psi \left(y\right)& =\frac{2y}{1+y^2}\\ \therefore \psi \left(b\right)& =\frac{2b}{1+y^2}\end{array}$

এবং ${\cot }^{-1}\frac{1}{\phi \left(a\right)}+{\mathrm{cosec}}^{-1}\frac{1}{\psi \left(b\right)}=2{\tan }^{-1}x$
বা, ${\cot }^{-1}\left(\frac{1}{\frac{2a}{1-a^2}}\right)+{\mathrm{cosec}}^{-1}\left(\frac{1}{\frac{2b}{1+b^2}}\right)=2{\tan }^{-1}x$
বা, ${\tan }^{-1}\left(\frac{2a}{1-a^2}\right)+{\sin }^{-1}\left(\frac{2b}{1+b^2}\right)=2{\tan }^{-1}x$
বা, $2{\tan }^{-1}a+2{\tan }^{-1}b=2{\tan }^{-1}x$
বা, $2({\tan }^{-1}a+{\tan }^{-1}b)=2{\tan }^{-1}x$
বা, ${\tan }^{-1}\frac{a+b}{1-ab}={\tan }^{-1}x$
$\therefore x=\frac{a+b}{1-\mathrm{ab}}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $v\left(z\right)=\cos z\cos 2z\cos 3z$

$\therefore v\left(\theta \right)=\cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 3\theta$

এবং $4\text{boldsymbol}v\left(\theta \right)=1$

বা, $4\cos \theta \cos 2\theta \cos 3\theta =1$

বা, $2\cos 2\theta (2\cos 3\theta \cdot \cos \theta )=1$

বা, $2\cos 2\theta \{\cos (3\theta +\theta )+\cos (3\theta -\theta \left)\right\}=1$

বা, $2\cos 2\theta (\cos 4\theta +\cos 2\theta )=1$

বা, $2\cos 2\theta \cdot \cos 4\theta +2{\cos }^{2}2\theta =1$

বা, $2\cos 2\theta \cdot \cos 4\theta +1+\cos (2\cdot 2\theta )=0$

বা, $2\cos 2\theta \cdot \cos 4\theta +1+\cos 4\theta =1$

বা, $\cos 4\theta (2\cos 2\theta +1)=0$

হয়, $\cos 4\theta =0$

বা, $4\theta =(2n+1)\frac{\pi }{2}$, যেখানে $n\in Z$

$\therefore \theta =(2n+1)\frac{\pi }{8}$

অথবা, $2\cos 2\theta +1=0$

বা, $\cos 2\theta =\frac{-1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$

বা, $2\theta =2n\pi \pm \frac{2\pi }{3}$; যেখানে $n\in Z$

$\therefore \theta =n\pi \pm \frac{\pi }{3}$

$n=0$ হলে, $\theta =\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},-\frac{\pi }{3}$

$n=1$ হলে, $\theta =\frac{3\pi }{8},\frac{4\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$

$n=-1$ হলে, $\theta =-\frac{\pi }{8},-\frac{2\pi }{3},-\frac{4\pi }{3}$

$n=2$ হলে, $\theta =\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$

$n=3$ হলে, $\theta =\frac{7\pi }{8},\frac{10\pi }{3},\frac{8\pi }{3}$

$n=4$ হলে, $\theta =\frac{9\pi }{8},\frac{13\pi }{3},\frac{11\pi }{3}$

$n=5$ হলে, $\theta =\frac{11\pi }{8},\frac{16\pi }{3},\frac{14\pi }{3}$

$n=6$ হলে, $\theta =\frac{13\pi }{8},\frac{19\pi }{3},\frac{17\pi }{3}$

$n=7$ হলে, $\theta =\frac{15\pi }{8},\frac{22\pi }{3},\frac{20\pi }{3}$

$n=8$ হলে, $\theta =\frac{17\pi }{3},\frac{25\pi }{3},\frac{23\pi }{3}$

$0<\theta <2\pi$ ব্যবধিতে $n=\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{8},\frac{4\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{8},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{8},\frac{9\pi }{8},\frac{11\pi }{8},\frac{13\pi }{8},\frac{15\pi }{8}$

নির্ণেয় সমাধান : $\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{8},\frac{4\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{8},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{8},\frac{9\pi }{8},\frac{11\pi }{8},\frac{13\pi }{8},\frac{15\pi }{8}$.