সৃজনশীলঃ ‘φ(x) = ax3…’ ঢাকা বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\phi \left(x\right)=0$

$\Rightarrow {\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+d=0$

$\Rightarrow 4x^3-2x^2+3=0$

$\therefore \alpha +\beta +\gamma =\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$\therefore \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =0$

$\therefore \alpha \beta \gamma =\frac{-3}{4}$

প্রদত্ত রাশি $\sum {\alpha }^2\beta$

$={\alpha }^2\beta +{\beta }^2\alpha +{\beta }^2\gamma +{\gamma }^2\beta +{\alpha }^2\gamma +{\gamma }^2\alpha$

$=\alpha \beta (\alpha +\beta )+\beta \gamma (\beta +\gamma )+\gamma \alpha (\gamma +\alpha )$

$=\alpha \beta (\alpha +\beta +\gamma )+\beta \gamma (\alpha +\beta +\gamma )+\gamma \alpha (\alpha +\beta +\gamma )-3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-3\alpha \beta \gamma$

$=\frac{1}{2}\times 0-3(-\frac{3}{4})$

$=\frac{9}{4}$

দেওয়া আছে,

$\phi \left(x\right)=0;a=0,b=1,c=-l$ এবং $d=m$

$\Rightarrow {\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+d=0$

$\Rightarrow x^2-\mathrm{lx}+m=0\text{-----(i) }$

এবং $\Psi \left(x\right)=0$

$\Rightarrow x^2-\mathrm{mx}+l=0......\left(ii\right)$

ধরি, (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$

প্রশ্নমতে, (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha +k,\beta +k$ [লেখানে $k$ ধ্রুবক]

(i) নং হতে পাই, $\alpha +\beta =1$ এবং $\alpha \beta =m$

(ii) নং হতে পাই,

$\alpha +k+\beta +k=m$

$\Rightarrow (\alpha +\beta )+2k=m$

$\Rightarrow 2k=m-l$

$\Rightarrow k=\frac{m-l}{2}$

এবং $(\alpha +k)(\beta +k)=1$

$\Rightarrow \alpha \beta +\alpha k+\beta k+k^2=l$

$\Rightarrow m+(\alpha +\beta )k+k^2-l=0$

$\Rightarrow (m-l)+l\cdot \frac{m-l}{2}+\frac{(m-l{)}^2}{4}=0$

$\Rightarrow 1+\frac{l}{2}+\frac{m-l}{4}=0$

$\Rightarrow 4+2l+m-l=0$ [4 দ্বারা গুন করে]

$\therefore l+m+4=0$ (প্রমাণিত)