সৃজনশীলঃ ‘φ(x)=lx2+mx+n.…’ সিলেট বোর্ড ২০১৯ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\phi \left(x\right)=1x^2+\mathrm{mx}+n,\phi \left(x\right)=0$

বা, ${\mathrm{lx}}^2+\mathrm{mx}+n=0$

সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

$\therefore a+b=-\frac{m}{l}$

এবং $\mathrm{ab}=\frac{n}{l}$

এখানে, $\mathrm{nl}(x^2+1)+(2\mathrm{nl}-m^2)x=0$

বা, $\frac{n}{l}(x^2+1)+(2\cdot \frac{n}{l}-\frac{m^2}{l^2})x=0$

বা, $\frac{n}{l}(x^2+1)+(2\cdot \frac{n}{l}-\frac{m^2}{l^2})x=0$

বা, $ab(x^2+1)+\{2ab-(a+b{)}^2\}x=0$

বা, $ab(x^2+1)-\left\{\right(a+b{)}^2-2\cdot ab\}x=0$

বা, $ab(x^2+1)-(a^2+b^2)x=0$

বা, $ab{x}^2+ab-a^{2}x-b^{2}x=0$

বা, $ab{x}^2-a^{2}x-b^{2}x+ab=0$

বা, $ax(bx-a)-b(bx-a)=0$

বা, $(bx-a)(ax-b)=0$

হয়, $bx-a=0$

বা, $bx=a$

বা, $x=\frac{a}{b}$

অথবা, $ax-b=0$

বা, $ax=b$

বা, $x=\frac{b}{a}$

অতএব, $x=\frac{a}{b},\frac{b}{a}$

দেওয়া আছে, $\phi \left(x\right)={\mathrm{lx}}^2+\mathrm{mx}+n$

$l=42,m=-13,n=1$ रলে,

$\phi \left(x\right)=42x^2-13x+1$

$=42x^2-7x-6x+1$

$=7x(6x-1)-1(6x-1)$

$=(6x-1)(7x-1)$

$=(1-6x)(1-7x)$

$\therefore \left\{\phi \right(x){\}}^{-1}=\frac{1}{\phi \left(x\right)}$

$=\frac{1}{(1-6x)(1-7x)}$

$=\frac{1}{(1-6x)(1-\frac{7}{6})}+\frac{1}{(1-7x)(1-\frac{6}{7})}$

$=7(1-7x{)}^{-1}-6(1-6x{)}^{-1}$

$=7\{1+7x+(7x{)}^2+(7x{)}^3+\dots .+(7x{)}^{98}+\dots .\}$

$-6\{1+6x+(6x{)}^2+(6x{)}^3+\dots \dots ..+(6x{)}^{98}+\dots \}$

$\therefore x^{99}$ এর সহগ $={7.7}^{99}-{6.6}^{99}=7^{100}-6^{100}$.