সৃজনশীলঃ ‘φ(x)=x3−9×2+21x−5;Ψ(x)=x3−3×2+5x−8.φ(x)=x^3-9x^2+21x-5; Ψ(x)=x^3-3x^2+5x-8.φ(x)=x3−9×2+21x−5;Ψ(x)=x3−3×2+5x−8.…’ বরিশাল বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

 দেওয়া আছে, $\psi \left(x\right)=x^3-3x^2+5x-8$

এবং $\psi \left(x\right)=0$

বা, $x^3-3x^2+5x-8=0$ এর মূলত্রয় $a,b,c$

$\therefore a+b+c=-\frac{-3}{1}=3$

$ab+bc+ca=\frac{5}{1}=5$

এবং $abc=-\frac{-8}{1}=8$

এখন, $a^2+b^2+c^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)$

$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2=(ab{)}^2+(bc{)}^2+(ca{)}^2$

$=(ab+bc+ca{)}^2-2(ab\cdot bc+bc\cdot ca+ca.ab)$

$=(ab+bc+ca{)}^2-2abc(a+b+c)$

$=5^2-2\cdot 8\cdot 3$

$=25-48=-23$

$a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+c^3-3abc+3abc$

$=(a+b+c)\{(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca\left)\right\}+3abc$

$=3(-1-5)+3\cdot 8$

$=3\cdot (-6)+24=-18+24=6$

এবং $a^4+b^4+c^4={\left(a^2\right)}^2+{\left(b^2\right)}^2+{\left(c^2\right)}^2$

$={(a^2+b^2+c^2)}^2-2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)$

$=(-1{)}^2-2\cdot (-23)=1+46=47$

$\therefore \sum a^{3}b=a^{3}b+a^{3}c+b^{3}a+b^{3}c+c^{3}a+c^{3}b$

$=a^4+a^{3}b+a^{3}c+b^{3}a+b^4+b^{3}c+c^{3}a+c^{3}b+c^4$

$-(a^4+b^4+c^4)$

$=a^3(a+b+c)+b^3(a+b+c)+c^3(a+b+c)-(a^4+b^4+c^4)$

$=(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)$

$=3.6-47=18-47=-29$

নির্ণেয় মান : -29