সৃজনশীলঃ ‘x2 + cx…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$x^2+\mathrm{cx}+b=0.......\left(i\right)$

(i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে,

$\alpha +\beta =-c$ এবং $\alpha \beta =b$

আবার, $b(x^2+1)-(c^2-2b)x=0$

$\Rightarrow {\mathrm{bx}}^2+b-\left\{\right(-c{)}^2-2b\}x=0$

$\Rightarrow \alpha \beta x^2+\alpha \beta -\left\{\right(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta \}x=0$

$\Rightarrow \alpha \beta x^2+\alpha \beta -({\alpha }^2+{\beta }^2)x=0$

$\Rightarrow \alpha \beta x^2+\alpha \beta -{\alpha }^{2}x-{\beta }^{2}x=0$

$\Rightarrow \alpha x(\beta x-\alpha )-\beta (\beta x-\alpha )=0$

$\Rightarrow (\alpha x-\beta )(\beta x-\alpha )=0$

$\therefore \alpha x-\beta =0$ অথবা $\beta x-\alpha =0$

$x=\frac{\beta }{\alpha }x=\frac{\alpha }{\beta }$

$\therefore$ (ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\frac{\alpha }{\beta }\cdot \frac{\beta }{\alpha }$

দেওয়া আছে, $x^2+\mathrm{cx}+b=0$

সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে,

$\alpha +\beta =-c$ এবং $\alpha \beta =b$

$\therefore \alpha +\frac{1}{\beta }$ ও $\beta +\frac{1}{\alpha }$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ:

$x^2-(\alpha +\frac{1}{\beta }+\beta +\frac{1}{\alpha })x+(\alpha +\frac{1}{\beta })(\beta +\frac{1}{\alpha })=0$

$\Rightarrow x^2-(\alpha +\beta +\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta })x+(\alpha \beta +1+1+\frac{1}{\alpha \beta })=0$

$\Rightarrow x^2-(-c+\frac{-c}{b})x+(b+2+\frac{1}{b})=0$

$\Rightarrow x^2-\left(\frac{\mathrm{cb}+c}{b}\right)x+\left(\frac{b^2+2b+1}{b}\right)=0$

$\Rightarrow {\mathrm{bx}}^2+c(b+1)x+(b+1{)}^2=0$

ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।