সৃজনশীলঃ ‘x236+y225=1,x=3;f(x)=xex,g(x)=(x+1)3…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৭ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

${\int }_0^3\frac{f\left(x\right)}{\frac{d}{dx}\left\{g\right(x\left)\right\}}dx={\int }_0^3\frac{x^x}{\frac{d}{dx}(x+1{)}^3}dx={\int }_0^3\frac{x^x}{3(x+1{)}^2}$

এখন, $\int \frac{{\mathrm{xe}}^x}{(x+1{)}^2}\mathrm{dx}=\int \frac{\left\{\right(x+1)-1\}{e}^x}{(x+1{)}^2}\mathrm{dx}$

$=\int e^x\cdot \frac{1}{x+1}dx-\int \frac{e^x}{(x+1{)}^2}dx$

$=\frac{1}{x+1}\int e^{x}dx-\int \{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)\int e^{x}dx\}dx-\int \frac{e^x}{(x+1{)}^2}dx$

$=\frac{e^x}{x+1}+\int \frac{e^x}{(x+1{)}^2}dx-\int \frac{e^x}{(x+1{)}^2}dx=\frac{e^x}{x+1}+c$

$\therefore {\int }_0^3\frac{{\mathrm{xe}}^x}{3(x+1{)}^2}=\frac{1}{3}{\left[\frac{e^x}{x+1}\right]}_0^3=\frac{1}{3}(\frac{e^3}{3+1}-\frac{e^0}{0+1})$

$=\frac{1}{3}(\frac{e^3}{4}-1)=\frac{1}{12}(e^3-4)\text{ (Ans.) }$

$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\dots \dots \dots \text{ (i) }$

$x=3\dots \dots \dots \text{ (ii) }$

(i) নং এ y =0 বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{36}=1$

$\therefore x=\pm 6$

উপবৃত্তটি x-অক্ষকে $(6,0)$ ও $(-6,0)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

(i) নং হতে, $\frac{y^2}{25}=1-\frac{x^2}{36}$

বা, $\frac{y^2}{25}=\frac{1}{36}(36-x^2)\therefore y=\pm \frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}$

(i) ও (ii) নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল

$=2{\int }_3^6\frac{5}{6}\sqrt{6^2-x^2}\mathrm{dx}$ [x অক্ষের উপরে $y$ ধনাত্মক]

$=\frac{5}{3}{[\frac{x}{2}\sqrt{6^2-x^2}+\frac{6^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x}{6}]}_3^6$

$=\frac{5}{3}[(0-\frac{3}{2}\sqrt{27})+18({\sin }^{-1}1-{\sin }^{-1}\frac{1}{2})]$

$=\frac{-5}{2}\times 3\sqrt{3}+30(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6})=30\times \frac{\pi }{3}-\frac{15\sqrt{3}}{2}$

$=10\pi -\frac{15\sqrt{3}}{2}$ বর্গ একক (Ans.)