সৃজনশীলঃ ‘x2+bx+c=0……..(i) cx2+bx+1=0……..(ii)…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $x^2+\mathrm{bx}+c=0$$......\left(1\right)$

$\left(1\right)$ নং এর একটি মূল $\alpha +\sqrt{\beta }$; যা অমূলদ।

$\therefore$ অপর মূলটি হবে $\alpha -\sqrt{\beta }$

$\therefore \alpha +\sqrt{\beta }+\alpha -\sqrt{\beta }=-\frac{b}{1}$

বা, $2\alpha =-b$

$\therefore \alpha =-\frac{b}{2}$

এবং $(\alpha +\sqrt{\beta })(\alpha -\sqrt{\beta })=\frac{c}{1}$

বা, ${\alpha }^2-(\sqrt{\beta }{)}^2=c$

বা, ${\alpha }^2-\beta =c$ 

আবার, $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\sqrt{\beta }}$ এবং $\frac{1}{\alpha }-\frac{1}{\sqrt{\beta }}$ মূলবিশিন্ট সমীকরণ হবে

$x^2-(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\sqrt{\beta }}+\frac{1}{\alpha }-\frac{1}{\sqrt{\beta }})x+(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\sqrt{\beta }})(\frac{1}{\alpha }-\frac{1}{\sqrt{\beta }})=0$

বা, $x^2-\left(\frac{2}{\alpha }\right)x+(\frac{1}{{\alpha }^2}-\frac{1}{\beta })=0$
বা, $x^2-\frac{2x}{\alpha }+\frac{\beta -{\alpha }^2}{{\alpha }^2\beta }=0$
বা, $x^2-\frac{2x}{\alpha }+\frac{-({\alpha }^2-\beta )}{{\alpha }^2\beta }=0$
বা, $x^2-\frac{2x}{-\frac{b}{2}}+\frac{-c}{{(-\frac{b}{2})}^2({\alpha }^2-c)}[\because \alpha =-\frac{b}{2}$ এবং ${\alpha }^2-\beta =c]$
বা, $x^2+\frac{4x}{b}+\frac{c}{\frac{b^2}{4}\{{(-\frac{b}{2})}^2-c\}}$
বা, $x^2+\frac{4x}{b}-\frac{c}{\frac{b^2}{4}(\frac{b^2}{4}-c)}=0$ বা, $x^2+\frac{4x}{b}-\frac{c}{\frac{b^2}{16}(b^2-4c)}$
বা, $x^2+\frac{4x}{b}-\frac{16c}{b^2(b^2-4c)}=0$
বা, $b^2(b^2-4c)x^2+4b(b^2-4c)x-16c=0$
বা, $(b^2-4c)b^2{x}^2+4bx-16c=0$
$\therefore (b^2-4c)(b^2{x}^2+4bx)-16c=0$ সমীকরণের মূলদ্ধয় $\frac{1}{\alpha }\pm \frac{1}{\sqrt{\beta }}$.

(প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, $x^2+\mathrm{bx}+c=0$$........\left(1\right)$

এবং ${\mathrm{cx}}^2+\mathrm{bx}+1=0$.$........\left(2\right)$
$\left(1\right)$ ও $\left(2\right)$ নং এর একটি সাধারণ মূল $\alpha$ হলে-

${\alpha }^2+b\alpha +1=0$

এবং $c{\alpha }^2+b\alpha +1=0$
বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই, $\frac{{\alpha }^2}{b-bc}=\frac{\alpha }{c^2-1}=\frac{1}{b-bc}$
এখন, $\frac{{\alpha }^2}{b-bc}=\frac{\alpha }{c^2-1}$
বা, $\frac{{\alpha }^2}{-b(c-1)}=\frac{\alpha }{(c+1)(c-1)}$

$\therefore \alpha =\frac{-b}{c+1}$

আবার, $\frac{a}{c^2-1}=\frac{1}{b-bc}$
বা, $\frac{-b}{c+1}\cdot \frac{1}{(c+1)(c-1)}=\frac{1}{-b(c-1)}$
বা, $\frac{b}{(c+1{)}^2}=\frac{1}{b}$
$\therefore (c+1{)}^2=b^2$.
(প্রমাণিত)