সৃজনশীলঃ ‘x2+px+q=0,p,q≠0 এর মূলদ্বয়…’ যশোর বোর্ড ২০১৯ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$x^2+px+q=0$ এর মূলদ্বয়, $u$ ও $v$

$\therefore u+v=\frac{-P}{1}=-P$

এবং, $uv=\frac{q}{1}=q$

এখন, $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{u+v}{uv}=\frac{-p}{q}$

এবং, $\frac{1}{u}\cdot \frac{1}{v}=\frac{1}{uv}=\frac{1}{q}$

$\frac{1}{u}$ ও $\frac{1}{v}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ, $x^2-(\frac{1}{u}+\frac{1}{v})x+\frac{1}{u}\cdot \frac{1}{v}=0$

বা, $x^2-\frac{-p}{q}x+\frac{1}{q}=0$

বা, $x^2+\frac{p}{q}x+\frac{1}{q}=0$

বা, $q{x}^2+px+1=0$

সুতরাং, $q{x}^2+px+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয়, $\frac{1}{u},\frac{1}{v}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $2x^3-9x^2+14x-5=0$ এর একটি মূল $2-i$$\therefore$ আরেকটি মূল $2+i$

$2+i$ ও $2-i$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ, $x^2-(2+i+2-i)x+(2+i)(2-i)=0$

বা, $x^2-4x+2^2-i^2=0$

বা, $x^2-4x+4+1=0$

বা, $x^2-4x+5=0$

তাহলে, $2x^3-9x^2+14x-5=0$

সমীকরণের একটি উৎপাদক $(x^2-4x+5)$

বা, $2x^3-9x^2+14x-5=0$

বা, $2x^3-8x^2+10x-x^2+4x-5=0$

বা, $2x(x^2-4x+5)-1(x^2-4x+5)=0$

বা, $(2x-1)(x^2-4x+5)=0$

হয়, $2x-1=0$

বা, $2x=1$

বা, $x=\frac{1}{2}$

অথবা, $x^2-4x+5=0$ প্রদক্ত সমীকরণের বাস্তব মূল $\frac{1}{2}$ এখন, $\frac{1}{2}$ ও $\frac{1}{4}$ মূর্লবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ $x^2-(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=0$

বা, $x^2-\frac{2+1}{4}x+\frac{1}{8}=0$

বা, $x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=0$

$\therefore 8x^2-6x+1=0$

নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ, $8x^2-6x+1=0$