সৃজনশীলঃ ‘x2+y2+2x+3y+1=0 ……… (i)x2+y2+4x+3y+3=0…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$x^2+y^2+2x+3y+1=0$ ......... (1)

$x^2+y^2+4x+3y+3=0$ ......... (2)

ধরি, ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2+2x+3y+1+k(x^2+y^2+4x+3y+3)=0$ ......... (3)

প্রশ্নমতে, (3)নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী

$\therefore 0+0+0+0+1+k(0+0+0+0+3)=0$

বা, $k=-\frac{1}{3}$

(3)নং এ k-এর মান বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2x+3y+1-\frac{1}{3}(x^2+y^2+4x+3y+3)=0$

বা, $3x^2+3y^2+6x+9y+3-x^2-y^2-4x-3y-3=0$

বা, $2x^2+2y^2+2x+6y=0$

$\because x^2+y^2+x+3y=0$

বা, $x^2+y^2+2\cdot \frac{1}{2}x+2\cdot \frac{3}{2}y=0\therefore g=\frac{1}{2},f=\frac{3}{2},c=0$

$\therefore x$ অক্ষে খণ্ডিতাংশের পরিমাণ

$=2\sqrt{g^2-c}=2\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-0}=1$ একক

নির্ণেয় $x$-অক্ষের খণ্ডিতাংশ 1 একক।

দেওয়া আছে,

$x^2+y^2+2x+3y+1=0$

বা, $x^2+y^2+2\cdot 1\cdot x+2\cdot \frac{3}{2}y+1=0$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)=(-1,-\frac{3}{2})$

এবং ব্যাসাধ, $r=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{1+\frac{9}{4}-1}=\frac{3}{2}$

ধরি, $m$ ঢালবিশিষ্ট এবং $(-1,1)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, যা বৃত্তে স্পর্শক

$y-1=m(x+1)$

বা, $y-mx-1-m=0$

বা, $-mx+y-(m+1)=0$

বা, $mx-y+(m+1)=0$

প্রশ্নমতে,

$\left|\frac{m(-1)-(-\frac{3}{2})+(m+1)}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{-m+\frac{3}{2}+m+1}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}{m^2+1}=\frac{9}{4}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $\frac{25}{4}=\frac{9}{4}(m^2+1)$

বা, $25=9m^2+9$

বা, $25-9=9m^2$

$\therefore m^2=\frac{16}{9}$

$\therefore m=\pm \frac{4}{3}$

$\therefore$ স্পর্শকের সমীকরণ,

$y-1=\frac{4}{3}(x+1)$

বা, $3y-3=4x+4$

বা, $4x-3y+3+4=0$

$\therefore 4x-3y+7=0$

এবং $y-1=-\frac{4}{3}\cdot (x+1)$

বা, $3y-3=-4x-4$

বা, $4x+3y-3+4=0$

$\therefore 4x+3y+1=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $4x-3y+7=0$ এবং $4x+3y+1=0$.