সৃজনশীলঃ ‘x2+y2−2x+4y−31=0 ……. (i)এবং…’ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+4x-4y+7=0$ ......... (i)

বा, $x^2+y^2+2\cdot 2\cdot x+2\cdot (-2)\cdot y+7=0$

এখানে, $g=2,f=-2$ এবং $c=7$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)\equiv (-2,2)$

এবং ব্যাসার্ধ $=\sqrt{g^2+f^2-c}$

$=\sqrt{2^2+(-2{)}^2-7}=\sqrt{4+4-7}=\sqrt{8-7}=1$

এবং সরলরেখার সমীকরণ, $3x+\mathrm{by}-1=0$ ....... (ii)

(ii) নং রেখাটি (i) নং বৃত্তের স্পর্শক হলে,

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ

$\therefore \left|\frac{3\times (-2)+b\times 2-1}{\sqrt{3^2+b^2}}\right|=1$

বা, $\left|\frac{-6+2b-1}{\sqrt{9+b^2}}\right|=1$

বা, $|2b-7|=\sqrt{9+b^2}$

বা, $(2b-7{)}^2=9+b^2$ [বর্গ করে]

বা, $(2b{)}^2-2\cdot 2b\cdot 7+7^2=9+b^2$

বা, $4b^2-28b+49-9-b^2=0$

বা, $3b^2-28b+40=0$

$\therefore b=\frac{-(-28)\pm \sqrt{(-28{)}^2-4\times 3\times 40}}{2\times 3}$

$=\frac{28\pm \sqrt{784-480}}{6}$

$=\frac{28\pm \sqrt{304}}{6}$

$=\frac{28\pm 4\sqrt{19}}{6}=\frac{1}{3}(14\pm 2\sqrt{19})=\frac{2}{3}(7\pm \sqrt{19})$

নির্ণেয় মান : $b=\frac{2}{3}(7\pm \sqrt{19})$.

প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়,

$x^2+y^2-2x+4y-31=0$ .......... (1)

এবং $x^2+y^2+4x-4y+7=0$ .......... (2)

(1) নং বৃত্তের কেন্দ্র $(1,-2)$

এবং ব্যাসার্ধ $=\sqrt{g^2+f^2-c}$

$=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+31}$

$=\sqrt{1+4+31}$

$=\sqrt{36}$

$=6$

আবার, (2) নং বৃত্তের কেন্দ্র $(-2,2)$

এবং ব্যাসার্ধ $=\sqrt{g^2+f^2-c}$

$=\sqrt{2^2+(-2{)}^2-7}=\sqrt{4+4-7}=\sqrt{1}=1$

$\therefore$ বৃত্ত্বয়ের কেন্দ্রের দূরত্ব

$=\sqrt{(1+2{)}^2+(-2-2{)}^2}$

$=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

এবং ব্যাসার্ধদ্বয়ের বিয়োগফল $=6-1-5$

যেহেতু, বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রের দূরত্ব = এদের ব্যাসার্ধের বিয়োগফল

$\therefore$ বৃত্ত দুইটি পরস্পর অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করে। (দেখানো হলো) ধরি, বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β).

স্পর্শবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাতে বহিঃবিভক্ত করে।

$\therefore$ স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক, $(\alpha ,\beta )=(\frac{6.(-2)-1.1}{6-1},\frac{6.2-1\cdot (-1)}{6-1})$

$=(\frac{-12-1}{5},\frac{12+2}{5})$

$=(\frac{-13}{5},\frac{14}{5})$

নির্ণেয় সাধারণ স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{-13}{5},\frac{14}{5})$.