সৃজনশীলঃ ‘x2+y2−2x−4y−4=0………(i)3x−4y−1=0………(ii)…’ যশোর বোর্ড ২০১৯ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0.........\left(iii\right)$

কেন্দ্র $(-g,-f)$

(iii) নং x অক্ষকে স্পর্শ করে,

$\therefore g^2=c.......\left(iv\right)$

প্রদত্ত বৃত্ত: $x^2+y^2-2x-4y-4=0$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(1,2)$

(iii) নং $(1,2)$ বিন্দুগামী

অর্থাৎ, $1+4+2g+4f+c=0$

বা, $5+2g+4f+c=0.........\left(v\right)$

(iii) নং $(3,2)$ বিন্দুগামী

অর্থাৎ, $9+4+6g+4f+c=0$

বা, $13+6g+4f+c=0.......\left(vi\right)$

(v) নং হতে (vi) নং বিয়োগ করে পাই, $-8-4g=0$

বা, $-4g=8$

বা, $g=-2$

(iv) নং হতে $c=g^2=(-2{)}^2=4$

(v) নং এ $g$ ও $c$ এর মান বসিয়ে পাই, $5+2(-2)+4f+4=0$

বা, $4f=-5$

বা, $f=\frac{-5}{4}$

(iii) নং এ $g,f$ ও $c$ এর মান বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2.(-2)x+2\left(\frac{-5}{4}\right)y+4=0$

বা, $x^2+y^2-4x-\frac{5}{2}y+4=0$

বা, $2x^2+2y^2-8x-5y+8=0$

ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

প্রদত্ত বৃত্ত: $x^2+y^2-2x-4y-4=0$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(1,2)$ এবং ব্যাসার্ধ, $r=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$

প্রদত্ত সমীকরণ, $3x-4y-1=0$

ধরি, $3x-4y-1=0$ রেখার লম্ব স্পর্শক

$4x+3y+k=0\dots \dots \dots$ (vii)

প্রশ্নমতে, $\frac{|4.1+3.2+k|}{\sqrt{4^2+3^2}}=3$

বা, $\frac{|k+10|}{5}=3$

বা, $|k+10|=15$

বা, $k+10=\pm 15$

বা, $k=\pm 15-10=-25,5$

(vii) নং এ $k$ এর মান বসিয়ে পাই,

$k=-25$ হলে, $4x+3y-25=0$

এবং $k=5$ হলে, $4x+3y+5=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকর$4x+3y-25=0$ এবং $4x+3y+5=0$ণ