সৃজনশীলঃ ‘x2+y2=36………(i)f(y)=y−1,g(y)=y2+4………(ii)…’ যশোর বোর্ড ২০১৯ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $x^2+y^2=36......\left(i\right)$

বা, $y^2=36-x^2$

বা, $y=\sqrt{36-x^2}$

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=2{\int }_0^{6}ydx$

$=2{\int }_0^6\sqrt{36-x^2}dx$

$\{\begin{array}{c}x=6\sin \theta \\ dx=6\cos \theta d\theta \end{array}$

$=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{36-36{\sin }^2\theta }\cdot 6\cos \theta d\theta$

$=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}6\cdot 6\sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cdot \cos \theta d\theta$

$=72{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta$

$=36{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta$

$=36{[\theta +\frac{\sin 2\theta }{2}]}_0^{\frac{\pi }{2}}=36[\theta +\sin \theta \cdot \cos \theta {]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

$=36[(\frac{\pi }{2}+0)-(0+0\left)\right]=18\pi$ বর্গ একক

নির্ণেয় $x$ অক্ষের উপরের অংশের ক্ষেত্রফল $18\pi$ বর্গ একক।

দেওয়া আছে, $f\left(y\right)=y-1$

এবং $g\left(y\right)=y^2+4$

প্রদত্ত রাশি $=\int \frac{f\left(y\right)+1}{f\left(y\right)g\left(y\right)}dy=\int \frac{y-1+1}{(y-1)(y^2+4)}dy$

$=\int \frac{y}{(y-1)(y^2+4)}dy=\int \frac{(y-1)+1}{(y-1)(y^2+4)}dy$

$=\int \frac{1}{y^2+4}dy+\int \frac{1}{(y-1)(y^2+4)}dy$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{y}{2}+\frac{1}{5}\int \{\frac{1}{y-1}-\frac{y+1}{y^2+4}\}dy$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{y}{2}+\frac{1}{5}\ln |y-1|-\frac{1}{5}\int (\frac{y}{y^2+4}+\frac{1}{y^2+4})dy$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{y}{2}+\frac{1}{5}\ln |y-1|-\frac{1}{2.5}\ln |y^2+4|-\frac{1}{5.2}{\tan }^{-1}\frac{y}{2}+c$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{y}{2}+\frac{1}{5}\ln |y-1|-\frac{1}{10}\ln |y^2+4|-\frac{1}{10}{\tan }^{-1}\frac{y}{2}+c$

$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{10}){\tan }^{-1}\frac{y}{2}+\frac{1}{5}\ln |y-1|-\frac{1}{10}\ln |y^2+4|+c$

$=\frac{2}{5}{\tan }^{-1}\frac{y}{2}+\frac{1}{5}\ln |y-1|-\frac{1}{10}\ln |y^2+4|+c$

নির্ণেয় যোজিত ফল $=\frac{2}{5}{\tan }^{-1}\frac{y}{2}+\frac{1}{5}\ln |y-1|-\frac{1}{10}\ln |y^2+4|+c$