সৃজনশীলঃ ‘x2+y2+6x−6y−31=0 ………. (i)4x+3y+7=0…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $4x+3y+7=0$ ..... (i)

$2x-5y+1=0$ ......... (ii)

(i) নং ও (ii) নং রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,

$\frac{4x+3y+7}{\sqrt{4^2+3^2}}=\pm \frac{2x-5y+1}{\sqrt{2^2+(-5{)}^2}}$

বা, $\frac{4x+3y+7}{5}=\pm \frac{2x-5y+1}{\sqrt{29}}$

বা, $4x+3y+7=\pm (\frac{10}{\sqrt{29}}x-\frac{25}{\sqrt{29}}y+\frac{5}{\sqrt{29}})$

এখানে, $a_1{a}_2+b_1{b}_2=4\times 2+3\times (-5)=-7<0$

সুতরাং ঋণাত্মক চিহ্ন হতে প্রাপ্ত সমীকরণটি হবে স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।

বা, $4x+3y+7=-(\frac{10}{\sqrt{29}}x-\frac{25}{\sqrt{29}}y+\frac{5}{\sqrt{29}})$

বা, $4x+3y+7+\frac{10}{\sqrt{29}}x-\frac{25}{\sqrt{29}}y+\frac{5}{\sqrt{29}}=0$

বা, $(4\sqrt{29}+10)x+(3\sqrt{29}-25)y+7\sqrt{29}+5=0$

নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,

$(4\sqrt{29}+10)x+(3\sqrt{29}-25)y+7\sqrt{29}+5=0$

দেওয়া আছে,

বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+6x-6y-31=0\dots \dots \left(i\right)$

সরলরেখার সমীকরণ, $4x+3y+7=0\dots \dots \left(ii\right)$

প্রথমে (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি:

সমীকরণটি হতে পাই, $2g=6\Rightarrow g=3$ এবং $2f=-6\Rightarrow f=-3$; আর $c=-31$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)=(-3,3)$

এবং ব্যাসার্ধ, $r=\sqrt{g^2+f^2-c}$

এখন, (ii) নং রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ:

যেহেতু (iv) নং রেখাটি (i) নং বৃত্তের একটি স্পর্শক, সেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র $(-3,3)$ হতে (iv) নং রেখার লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($7$) এর সমান হবে।

শর্তমতে,

পরমমান তুলে দিলে আমরা পাই,

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই:

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই:

এখন, $k$ এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$k=56$ হলে, সমীকরণটি হবে $3x-4y+56=0$

$k=-14$ হলে, সমীকরণটি হবে $3x-4y-14=0$

নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ $3x-4y+56=0$ এবং $3x-4y-14=0$