সৃজনশীলঃ ‘x2+y2−8x−6y+16=0 …….. (i)…’ ২০২৪ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত বৃত্তদ্বয় $x^2+y^2-8x-6y+16=0$ ..... (i)

এবং $x^2+y^2=4\therefore x^2+y^2=2^2$ ....... (ii)

বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র যথাক্রমে $(4,3)$ও $(0,0)$এবং ব্যাসার্ধ $\sqrt{4^2+3^2-16}=3$ একক 32 একক

বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শবিন্দু তাদের কেন্দ্রের সংযোগ রেখাকে $3:2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$\therefore$স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{3\times 0+2\times 4}{3+2},\frac{3\times 0+2\times 3}{3+2})$

$=(\frac{8}{5},\frac{6}{5})\text{ (Ans.) }$

আমরা জানি $(-g,-f)$ কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো. বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ, $x^2+y^2+$$2\mathrm{gx}+2\mathrm{fy}+c=0\dots$ (i)

যেহেতু, বৃত্তটি মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে যথাক্রমে3 ও 5 অংশ ছেদ করে।

অতএব, বৃত্তটি $(0,0),(3,0)$এবং $(0,5)$বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

সুতরাং, (i) নং সমীকরণ $(0,0),(3,0)$ও $(0,5)$বিন্দুত্রয় দ্বারা সদ্ধি হবে।

$(0,0)$বিন্দুর জন্য, $c=0$ ...... (ii)

$(3,0)$বিন্দুর জন্য, $9+6g+c=0$ ..... (iii)

$(0,5)$বিন্দুর জন্য, $25+10f+c=0$ ..... (iv)

(ii) ও (iii) হতে পাই, $9+6g=0$ বা, $g=-\frac{3}{2}$

(ii) ও (iv) হতে পাই, $25+10f+0=0$ বা, $f=-\frac{5}{2}$

$\therefore$নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-3x-5y=0$ (Ans.)