সৃজনশীলঃ ‘x2y−5xy+6y−x+7=0 একটি বক্ররেখার…’ চট্টগ্রাম কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $x^{2}y-5xy+6y-x+7=0$ ....... (i)

বক্ররেখাটি $x$অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুত, $y=0$

(i)নং সমীকরণ হতে পাই, $x^2.0-5x.0+6.0-x+7=0$

$\therefore x=7$

অর্থাৎ, বক্ররেখাটি $x$অক্ষকে $(7,0)$বিন্দুতে ছেদ করে।

আবার, (i) নং কে $x$এর সাপেক্ষে অন্তরীকীরণ করে পাই,

$x^2\frac{dy}{dx}+y\times 2x-5x\frac{dy}{dx}-5y\times 1+6\frac{dy}{dx}-1=0$

বা, $(x^2-5x+6)\frac{dy}{dx}=1+5y-2xy$

$\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1+5y-2\mathrm{xy}}{x^2-5x+6}$

$(7,0)$বিন্দুতে ঢাল, ${\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)}_{(7,0)}=\frac{1+5.0-2.7.0}{7^2-5\times 7+6}$

$=\frac{1}{49-35+6}=\frac{1}{20}$

$(7,0)$বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, $y-y_1={\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{(7,0)}(x-x_1)$

বা, $y-0=\frac{1}{20}(x-7)$

বা, $20y=x-7$

$\therefore x-20y-7=0$

$(7,0)$বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, $y-y_1=-\frac{1}{{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{(7,0)}}(x-x_1)$

বা, $y-0=-\frac{1}{\frac{1}{20}}(x-7)$

বা, $y=-20(x-7)$

বা, $y=-20(x-7)$

বা, $y=-20x+140$

$\therefore 20x+y-140=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $x-20y-7=0$ এবং অভিলম্বের সমীকরণ, $20x+y-140=0$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=e^{mx}$

$\therefore a^{2}f\left(x\right)+\frac{b^2}{f\left(x\right)}=a^2{e}^{mx}+\frac{b^2}{e^{mx}}$

ধরি, $y=a^2{e}^{mx}+\frac{b^2}{e^{mx}}$

$\therefore \frac{dy}{dx}=a^{2}m{e}^{mx}-b^2{\left(e^{mx}\right)}^{-1-1}\times m{e}^{mx}$

$=m{a}^2{e}^{mx}-\frac{b^{2}m{e}^{mx}}{{\left(e^{mx}\right)}^2}=m{a}^2{e}^{mx}-\frac{m{b}^2}{e^{mx}}$

আবার, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=m{a}^2\times m{e}^{mx}+m{b}^2{\left(e^{mx}\right)}^{-2}\times m{e}^{mx}$

$=a^2{m}^2{e}^{mx}+\frac{b^2{m}^2}{e^{mx}}$

গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$

বা, $m{a}^2{e}^{mx}-\frac{m{b}^2}{e^{mx}}=0$

বা, $\frac{a^2{\left(e^{mx}\right)}^2-b^2}{e^{mx}}=0$

বা, $a^2{\left(e^{mx}\right)}^2-b^2=0$

বা, ${\left(e^{mx}\right)}^2=\frac{b^2}{a^2}$

বা, $e^{mx}=\frac{b}{a}$

বা, $\ln e^{mx}=\ln \frac{b}{a}$

বা, $\mathrm{mx}\ln e=\ln \frac{b}{a}$

বা, $mx\times 1=\ln \frac{b}{a}$

$\therefore x=\frac{1}{m}\ln \frac{b}{a}$

$x=\frac{1}{m}\ln \frac{b}{a}$এর জন্য, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=a^2{m}^2{e}^{m\times \frac{1}{m}\ln \frac{b}{a}}+\frac{b^2{m}^2}{e^{m\times \frac{1}{m}\ln \frac{b}{a}}}$

$=a^2{m}^2{e}^{\frac{b}{m}}+\frac{b^2{m}^2}{e^{m_n^{-}}}=a^2{m}^2\times \frac{b}{a}+\frac{b^2{m}^2}{\frac{b}{a}}$

$=ab{m}^2+ab{m}^2=2ab{m}^2>0$

$\therefore$ফাংশনটির লঘুমান পাওয়া বাবে।

নির্ণেয় লঘুমান$=a^2{e}^{m\times \frac{1}{m}\ln \frac{b}{a}}+\frac{b^2}{e^{m\times \frac{1}{m}\ln \frac{b}{a}}}$

$=a^2{e}^{\ln \frac{b}{a}}+\frac{b^2}{e^{\ln \frac{b}{a}}}=a^2\times \frac{b}{a}+\frac{b^2}{\frac{b}{a}}=ab+\frac{a{b}^2}{b}=ab+ab$

$=2ab,$ যেখানে $a>0,b>0$ (দেখানো হলো)