সৃজনশীলঃ ‘x+2y−z=53x−y+3z=72x+3y+z=11} এবং R=[aba+b+2cbb+c+2acc+a+2bac]…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$x+2y-z=5$

$3x-y+3z=7$

$2x+3y+z=11$

$x,y$ ও z এর সহগুনক গুলো নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -1& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$

$=1(-1-9)-2(3-6)-1(9+2)$

$=-10+6-11$

$=-15$

$\mathrm{Dx}=\left[\begin{array}{ccc}5& 2& -1\\ 7& -1& 3\\ 11& 3& 1\end{array}\right]$

$\begin{array}{cc}& =5(-1-9)-2(7-33)-1(21+11)\\ & =-50+52-32\\ & =-30\end{array}$

Dy $=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& -1\\ 3& 7& 3\\ 2& 11& 1\end{array}\right]$

$=1(7-33)-5(3-6)-1(33-14)$

$=-26+15-19$

$=-30$

$\mathrm{Dz}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 3& -1& 7\\ 2& 3& 11\end{array}\right]$

$=1(-11-21)-2(33-14)+5(9+2)$

$=-32-38+55$

$=-15$

$\therefore x=\frac{Dx}{D}=\frac{-30}{-15},y=\frac{Dy}{D}$ এবং $z=\frac{Dz}{D}$

$\begin{array}{ccc}=2& =\frac{-30}{-15}& =\frac{-15}{-15}\\ & =2& =1\end{array}$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান, $(x,y,z)=(2,2,1)$

প্রশ্নমতে,

$\begin{array}{cc}& |R|=\left[\begin{array}{ccc}a& b& a+b+2c\\ b& b+c+2a& c\\ c+a+2b& a& c\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}2a+2b+2c& b& a+b+2c\\ 2a+2b+2c& b+c+2a& c\\ 2a+2b+2c& a& c\end{array}\right]\\ & =(2a+2b+2c)\left[\begin{array}{ccc}1& b& a+b+2c\\ 1& b+c+2a& c\\ 1& a& c\end{array}\right]\\ & =2(a+b+c)\left[\begin{array}{ccc}0& -(c+2a)& a+b+c\\ 0& (a+b+c)& 0\\ 1& a& c\end{array}\right]\end{array}$

$r_1^{\prime }=r_1-r_2$

এবং $r_2^{\prime }=r_2-r_3$

$=2(a+b+c)\left[\begin{array}{cc}-(c+2a)& a+b+c\\ (a+b+c)& 0\end{array}\right]$

$=2(a+b+c)\{0-(a+b+c{)}^2\}$

$=2(a+b+c{)}^3$

$\therefore |R|=2(a+b+c{)}^3$ (Proved)