সৃজনশীলঃ ‘x+3y+2z=52x+y+3z=13x+2y+z=4…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সমীকরণ জোট : $x+3y+2z=5$

$\begin{array}{cc}& 2x+y+3z=1\\ & 3x+2y+z=4\end{array}$

$x,y$ ও $z$ এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right|=1(1-6)-3(2-9)+2(4-3)$

$=-5+21+2=18$

$\therefore D_x=\left|\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 1& 3\\ 4& 2& 1\end{array}\right|=5(1-6)-3(1-12)+2(2-4)$

$=-25+33-4=4$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 4& 1\end{array}\right|=1(1-12)-5(2-9)+2(8-3)$

$=-11+35+10=34$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 1& 1\\ 3& 2& 4\end{array}\right|=1(4-2)-3(8-3)+5(4-3)$

$=2-15+5=-8$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}:y=\frac{D_y}{D}=\frac{34}{18}=\frac{17}{9}$

এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{-8}{18}=\frac{-4}{9}$

নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(\frac{2}{9},\frac{17}{9},\frac{-4}{9})$.

প্রদত্ত সমীকরণ জোটের চলকসমূহের সহগগুলো দ্বারা গঠিক ম্যাট্রিক্স $M$ হলে, $M=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$

$M^2=M\cdot M=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1.1+3.2+2.3& 1.3+3.1+2.2& 1.2+3.3+2.1\\ 2.1+1.2+3.3& 2.3+1.1+3.2& 2.2+1.3+3.1\\ 3.1+2.2+1.3& 3.3+2.1+1.2& 3.2+2.3+1.1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}13& 10& 13\\ 13& 13& 10\\ 10& 13& 13\end{array}\right]$

$M^2-2M+3I=\left[\begin{array}{ccc}13& 10& 13\\ 13& 13& 10\\ 10& 13& 13\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}13& 10& 13\\ 13& 13& 10\\ 10& 13& 13\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2& 6& 4\\ 4& 2& 6\\ 6& 4& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}14& 4& 9\\ 9& 14& 4\\ 4& 9& 14\end{array}\right]$

$M^2-2M+3I=\left[\begin{array}{ccc}14& 4& 9\\ 9& 14& 4\\ 4& 9& 14\end{array}\right]$